Построение и решение графиков Функций
Научим строить любые графики функций
Начать учитьсяВ школе на математике мы чаще работаем с цифрами и формулами, чем с чертежами. Пора это исправлять! Чтобы подготовиться к ЕГЭ, нам точно пригодятся графики функции — об этом и поговорим.
Понятие функции
Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:
Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
Графический способ — наглядно.
Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
Словесный способ.
Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.
Например, для функции вида область определения выглядит так
х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).
Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю.
Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Понятие графика функции
Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется
График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.
Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.
Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.
В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.
Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).
Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:
Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.
Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.
Запоминаем!
Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.
Исследование функции
Важные точки графика функции y = f(x):
стационарные и критические точки;
точки экстремума;
нули функции;
точки разрыва функции.
Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.
Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.
Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется 
Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.
Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.
Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:
Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.
Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.
Схема построения графика функции:
Найти область определения функции.
Найти область допустимых значений функции.
Проверить не является ли функция четной или нечетной.
Проверить не является ли функция периодической.
Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).
Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.
Промежутки знакопостоянства.
Асимптоты.
На основании проведенного исследования построить график функции.
Построение графика функции
Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах или воспользуйтесь онлайн тренажером.
Задача 1. Построим график функции
Как решаем:
Упростим формулу функции:
при х ≠ -1.
График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).
Задача 2. Построим график функции
Как решаем:
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции
Задача 3. Построить графики функций:
а) y = 3x — 1
б) y = -x + 2
в) y = 2x
г) y = -1
Как решаем:
Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».
а) y = 3x — 1
| x | y |
| 0 | -1 |
| 1 | 2 |
Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.
б) y = -x + 2
| x | y |
| 0 | 2 |
| 1 | 1 |
k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.
в) y = 2x
| x | y |
| 0 | 0 |
| 0 | 2 |
k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.
г) y = -1
k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.
Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.
Как решаем:
Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.
Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c = 0.
Координата вершины
Ветви вверх, следовательно, a > 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.
Ветви вниз, следовательно, a < 0.
Точка пересечения с осью Oy — c > 0.
Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.
Задача 5. Построить графики функций:
а) y = x² + 1
б)
в) y = (x — 1)² + 2
г)
д)
Как решаем:
Построить графики можно при помощи элементарных преобразований.
Если построен график функции y = f(x), то при a > 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).
y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;
y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;
y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;
y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.
Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.
Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.
Если m < 1, то такое преобразование графика называют сжатием к оси x с коэффициентом 1/m.
а)
Преобразование в одно действие типа f(x) + a.
y = x²
Сдвигаем график вверх на 1:
y = x² + 1
б)
Преобразование в одно действие типа f(x — a).
Сдвигаем график вправо на 1:
в) y = (x — 1)² + 2
В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.
y = x²
Сдвигаем график вправо на 1:
y = (x — 1)²
Сдвигаем график вверх на 2:
y = (x — 1)² + 2
г)
Преобразование в одно действие типа
y = cos(x)
Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:
д)
Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).
Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.
Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:
Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:
Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
341.
9KСкалярное произведение векторов
К следующей статье
Многочлен стандартного вида
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
ПремиумНа вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Определим уровень и подберём курс
Расскажем, как
проходят занятия
Как построить график функции
В этой статье разобран самый простой метод получения графика функции.
Суть метода: найти несколько точек принадлежащих графику, расставить их на координатной плоскости и соединить. Этот способ не лучший (лучший – построение графиков с помощью элементарных преобразований), но если вы все забыли или ничего не учили, то знайте, что у вас всегда есть план Б – возможность построить график по точкам.
Итак, алгоритм по шагам:
1. Представьте, как выглядит ваш график.
Строить гораздо легче, если вы понимаете, что примерно должны получить в итоге. Поэтому сначала посмотрите на функцию и представьте, как примерно должен выглядеть ее график. Все виды графиков элементарных функций вы можете найти здесь. Этот пункт желательный, но не обязательный.
Пример: Построить график функции \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)
Данная функция — гипербола с ветвями расположенными во второй и четвертой четверти. Её график выглядит как-то так:
2. Составьте таблицу точек, принадлежащих графику:
Теперь подставим разные значения «иксов» в функцию, и для каждого икса посчитаем значение «игрека».
Пример: \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)
|
при \(x=-1\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-1}\)\(=2\) |
|
|
при \(x=0\) |
\(y\) — не существует (делить на ноль нельзя) |
|
|
при \(x=1\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{1}\)\(=-2\) |
|
|
при \(x=2\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{2}\)\(=-1\) |
|
|
при \(x=3\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{3}\) |
|
|
при \(x=4\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{4}\)\(=-\)\(\frac{1}{2}\) |
Результат вычислений удобно представлять в виде таблицы, примерно такой:
|
\(x\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
|
\(y\) |
\(2\) |
\(-\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\)\(\frac{2}{3}\) |
\(-\)\(\frac{1}{2}\) |
Как вы могли догадаться, полученные пары «икс» и «игрек» — это точки, лежащие на нашем графике.
4. Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки из таблицы.
Пример:
5. Если нужно, найдите еще несколько точек и нанесите их на координатную плоскость.
Пример: Чтобы построить график мне не хватает нескольких точек из отрицательной части, а также рядом с осью игрек, поэтому я добавлю столбцы с \(x=-2\), \(x=-4\), \(x=\)\(\frac{1}{2}\) и \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)
|
при \(x=-2\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-2}\)\(=1\) |
|
|
при \(x=-4\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-4}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\) |
|
|
при \(x=\)\(\frac{1}{2}\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{\frac{1}{2}}\)\(=-2:\)\(\frac{1}{2}\)\(=-2 \cdot 2=-4\) |
|
|
при \(x=-\)\(\frac{1}{2}\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-\frac{1}{2}}\)\(=-2:(-\)\(\frac{1}{2}\)\()\)\(=-2 \cdot (-2)=4\) |
|
\(x\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
\(-2\) |
\(-4\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(-\)\(\frac{1}{2}\) |
|
\(y\) |
\(2\) |
\(-\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\)\(\frac{2}{3}\) |
\(-\)\(\frac{1}{2}\) |
\(1\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(-4\) |
\(4\) |
6.
Постройте график
Теперь аккуратно и плавно соединяем точки.
Готово!
Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote
Одна запись
Делать заметки
Делать заметки
Рисование графиков математических функций с помощью Math Assistant в OneNote
OneNote для Интернета OneNote для Windows 10 Math Assistant Дополнительно… Меньше
Создавайте графики рукописных или напечатанных уравнений с помощью Math Assistant в OneNote. Вы даже можете манипулировать переменными, чтобы увидеть визуальный эффект изменений, превращая Math Assistant в мощного тренера по математике.
Примечание. Эта функция доступна только в OneNote для Интернета или OneNote для Windows 10. У вас должна быть действующая подписка на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Откройте настольное приложение OneNote или войдите в Office.com и выберите OneNote .
Совет: Если вы не видите OneNote сразу, откройте панель запуска приложений , чтобы найти его.
Откройте существующий блокнот или создайте новый блокнот.
Выберите вкладку Draw и напишите или введите свое уравнение.
org/ListItem»>Используйте инструмент Lasso Select , чтобы нарисовать круг вокруг уравнения.
Выберите Math , чтобы открыть панель Math Assistant.
Из Выберите действие раскрывающегося меню в Математика выберите График в 2D или График с обеих сторон в 2D .
Чтобы настроить график, созданный Math Assistant, выполните любое из следующих действий, если оно доступно:
Примечание. Если вы используете OneNote на устройстве с сенсорным экраном, график можно настроить пальцами.
Используйте один палец для перемещения графика. Сведите два пальца, чтобы изменить уровень увеличения. В OneNote для Интернета вы можете использовать стрелки по бокам графика, чтобы изменить его положение.
Выберите или коснитесь значка с двойной стрелкой Сброс , чтобы восстановить исходное состояние графика.
Когда график будет выглядеть так, как вы хотите, выберите или коснитесь Вставить на страницу , чтобы поместить его в виде снимка экрана на текущую страницу.
Примечание. Чтобы изменить способ представления графика (градусы, радианы, граданы), выберите или коснитесь Настройки при открытой области математических вычислений.
Дополнительные функции построения графиков
В зависимости от типа графика могут быть доступны следующие функции:
Чтение значений x-y: Наведите указатель мыши на точку на линии графика, чтобы просмотреть значения x и y в OneNote для Windows 10. В OneNote для Интернета — линию, чтобы просмотреть значения.
Управление параметрами: Если у вас есть уравнение с параметрами, такими как ax+b, используйте знаки + и — под графиком, чтобы изменить значения a и b.
org/ListItem»>Основные характеристики графика: Математический помощник вычисляет интересную информацию о графике, такую как нули, точки пересечения, минимумы, максимумы и многое другое. Используйте флажки, чтобы выбрать, какие функции вы хотите отобразить на графике.
Узнать больше
Создавайте математические уравнения с помощью рукописного ввода или текста с помощью помощника по математике в OneNote.
Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote
Типы задач, поддерживаемые Math Assistant
Создайте тренировочную математическую викторину
Типы задач, которые можно отображать в 2D-графике
При использовании Math Assistant в OneNote вы заметите, что раскрывающийся список Выберите действие под уравнением изменяется в зависимости от выбранного вами уравнения.
Следующие типы задач можно изобразить в 2D с помощью Math Assistant.
Примечание. Эта функция доступна только при наличии подписки на Microsoft 365. Если вы являетесь подписчиком Microsoft 365, убедитесь, что у вас установлена последняя версия Office.
Выражения (с переменной) | |
Полиномиальные массивы | |
Уравнения | Вы можете График в 2D или График с обеих сторон в 2D при работе с уравнениями. Выберите График в 2D , чтобы увидеть решение уравнения.
Выберите График обеих сторон в 2D , чтобы просмотреть график двух функций по разные стороны от знака равенства. |
Системы уравнений | |
Полярные координаты | Чтобы построить график функции в полярных координатах, r необходимо выразить как функцию тета. |
Неравенства | При работе с неравенствами можно Построить двухмерный график или Построить двумерный график в двухмерном режиме . Выберите График в 2D , чтобы увидеть решение неравенства. Выберите График обеих сторон в 2D , чтобы просмотреть график двух функций на противоположных сторонах знака сравнения. |
Система неравенств |
Узнать больше
Создание викторины по математике в Microsoft Forms
Создание практического математического теста с помощью Math Assistant в OneNote
Решайте математические уравнения с помощью Math Assistant в OneNote
Все книгиКниги, не связанные с программированием Руководство пользователя Учебные пособия Быстрая справка Справка OriginКниги по программированию X-Function Origin C LabTalk Programming Python Python (внешний) Automation Server LabVIEW VI Приложения Разработка приложений Code Builder Лицензия МОКА Орглаб | |||||||
Содержание
РезюмеOrigin предоставляет библиотеку шаблонов. Вы можете создавать и изменять шаблоны самостоятельно и добавлять в коллекцию. Создать график в Origin так же просто, как выбрать нужные данные, а затем выбрать шаблон в меню или на панелях графических инструментов. Диалоговое окно Plot Setup обеспечивает большую гибкость при создании графиков, например, при выводе данных из нескольких книг или листов. Начиная с Origin 2016, добавлен более мощный «клонируемый» шаблон. Эти шаблоны предназначены для «умного построения», то есть вы можете клонировать график со сложной иерархией слоев или с исходными данными, которые нельзя указать простым выбором. Чему вы научитесьИз этого туториала вы узнаете, как:
Быстрое создание графика путем выбора данных
Изменение X/Y данных графикаИспользуйте тот же лист из предыдущего примера.
Примечание: Вы также можете использовать диалоговое окно Layer Contents или Plot Setup для изменения входных данных. Добавление данных к существующему графику и обновление легендыС помощью перетаскивания
Путем копирования для мини-панели инструментов «Печать»В этом разделе мы будем использовать кнопку Копировать для построения графика на мини-панели инструментов, чтобы добавить новые графики к существующему графику.
Диалоговое окно содержимого слояДиалоговое окно Layer Contents полезно в первую очередь для добавления или удаления графиков данных из слоя графика. Начиная с Origin 2016, вы можете переключать слои, не закрывая диалоговое окно, что упрощает добавление или удаление графиков из многослойного графика. Чтобы продемонстрировать, мы вернемся к трехслойному графику, который мы создали в первом упражнении этого руководства: В первом упражнении мы нанесли данные с листа S32-014-04. В этом упражнении мы поменяем местами данные с листа S32-014-04 на данные с листа S21-235-07.
Создание графика с помощью настройки графикаДиалоговое окно «Настройка графика» полезно для различных задач построения графиков, включая создание графиков, изменение типа графика, добавление графиков или удаление графиков из графика, группирование или разгруппирование графиков, а также редактирование диапазона графиков.
График сгруппированных данных Как Когда ваши данные включают столбец категориальных данных или несколько столбцов, характеризующих некоторую вложенную подгруппу данных, как данные ниже , тогда вы можете построить свои данные как: Участок шпалеры Начиная с Origin 2017, вы представили график Trellis Plot, который имеет один слой, но с M X N 9.
Как видите, этот решетчатый график имеет только один слой, но с шестью панелями ( 2×3 ): 2 строки представляют переменную «Пол», Женский и Мужской ; три столбца представляют переменную «Город», A , B и C . Сгруппированный блок-графикПомимо решетчатого графика, вы также можете отображать данные такого типа в виде сгруппированного прямоугольника/столбца.
Как видите, столбец данных («Зарплата») был представлен в виде сгруппированных диаграмм: Две группы по «Полу», Женский и Мужской ; внутри этих двух групп три подгруппы «Город», A , B и C . Графики по меткам Origin предлагает параметр построения, Multiple Panels by Label , который позволяет создавать многослойный график, каждый слой которого содержит несколько графиков, идентифицированных одной и той же меткой.  | |||||||
1 Перетаскиванием
См. этот учебник по построению графиков из пользовательских шаблонов графиков, чтобы узнать, как сохранять и использовать как стандартные, так и клонируемые шаблоны.
dat и S32-014-04.dat из \Samples\Import and Export\ и нажмите Добавьте файл(ы) , чтобы добавить три файла на нижнюю панель. Нажмите OK , чтобы добавить их к Имена файлов Поле редактирования.
Щелкните правой кнопкой мыши последний график под Layer1, чтобы выбрать Set As Group End , чтобы сгруппировать все эти три кривые вместе.
Однако вы можете изменить параметр по умолчанию. Для этого щелкните Preference: Options и перейдите на вкладку Graph и измените настройку Перетащите раскрывающееся меню графика .
Будьте осторожны, чтобы не удалить окно графика, так как мы будем использовать его в следующем разделе этого руководства. 
Панели 0365.
