В изометрии: Изометрия в играх. С чего все начиналось? / Хабр

Изометрическая проекция

Во многих случаях используется изометрическая проекция: в компьютерных играх для трёхмерных объектов и панорам, в рисовании схем проезда и т.д. Рассмотрим, как можно рисовать изометрическую проекцию в Inkscape.

Для начала немного теории. Начнем с Википедии: Изометрическая проекция — это разновидность аксонометрической проекции, при которой в отображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длины спроектированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трём осям один и тот же. Слово «изометрическая» в названии проекции пришло из греческого языка и означает «равный размер», отражая тот факт, что в этой проекции масштабы по всем осям равны. По западным стандартам изометрическая проекция, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей.

В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось Z’ направлена вертикально. Коэффициенты искажения (kx,ky,kz) имеют числовое значение . Как правило, для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в раза.

Изометрический вид объекта можно получить, выбрав направление обзора таким образом, чтобы углы между проекцией осей x, y, и z были одинаковы и равны 120°. К примеру, если взять куб, это можно выполнить направив взгляд на одну из граней куба, после чего повернув куб на ±45° вокруг вертикальной оси и на ±arcsin (tan 30°) = 35.264° вокруг горизонтальной оси. Обратите внимание: при изометрической проекции куба контур проекции образует правильный шестиугольник — все рёбра равной длины и все грани равной площади.

Подобным же образом изометрический вид может быть получен, к примеру, в редакторе трёхмерных сцен: начав с камерой, выровненной параллельно полу и координатным осям, её нужно повернуть вниз на =35.264° вокруг горизонтальной оси и на ±45° вокруг вертикальной оси.

Попробуем нарисовать предмет в изометрической проекции. Для опытов возьмём некий блочный предмет. Это может быть коробка, дом, книга, полка и т.п.

Описываемый здесь способ удобен, когда нужно нарисовать готовый объект с картинками и текстами в изометрической проекции, так как к этим элементам композиции также будут правильно применены операции масштабирования и сдвига.

Нарисуем развертку блочного элемента при помощи инструмента Rectangle, состоящую из трёх частей: передняя часть, боковая часть и верхняя часть.

Обратите внимание, что должны совпадать высоты передней и боковой части, а также ширина боковой и высота верхней части (в противном случае фигура просто не сложится). Размеры прямоугольников выберите по своему вкусу.

Мы не будем сейчас добавлять текст и другие элементы украшения, а сфокусируемся на технике создания изометрической проекции.

Для удобства можно раскрасить каждый прямоугольник блока в собственный цвет. Далее откройте диалоговое окно Fill and Stroke (Shift+Ctrl+F) и на вкладке Stroke style установите ширину границ в 1 пиксель.

При создании проекции каждая сторона меняет свои размеры (сужается) и сдвигается (искажается). А верхняя часть к тому же ещё и вращается. Делается это за несколько шагов.

Начнем с передней части. Выберите её при помощи инструмента Select. Далее вызовите диалоговое окно Transform через меню Object | Transform… (Shift+Ctrl+M). Перейдите на вкладку Scale и установите ширину прямоугольника в 86.603%, что эквивалентно cos(30°). Щелкните на кнопке Apply. После этой операции прямоугольник станет уже и изменит свое местоположение. Подвиньте его к остальным прямоугольникам.

Далее нам необходимо произвести операцию сдвига на 30°. Это легко сделать при помощи инструмента Select. Щёлкните на прямоугольнике два раза, чтобы включить режим поворота и сдвига. Когда вы это сделаете, то в центре фигуры увидите крестик — центр поворота. Вокруг этой точки осуществляется поворот фигуры или сдвига. Перетащите крестик в верхний правый угол прямоугольника. Будьте аккуратны и постарайтесь разместить крестик точно в указанном углу.

Теперь необходимо сделать сдвиг прямоугольника. Удерживая клавишу Ctrl, щёлкните и потащите стрелку сдвига на левой стороне прямоугольника. По умолчанию, при нажатой клавише Ctrl сдвиг происходит по шагам на 15°. Смотрите на строку состояния и сдвиньте прямоугольник на -30°

Повторите предыдущие шаги для боковой стороны. Измените ее ширину на 86.603% и сдвиньте на 30°. Единственная разница заключается в том, что центр поворота теперь нужно расположить в верхнем левом углу.

Финальная часть нашего упражнения — работа с верхним прямоугольником. Здесь есть свои особенности. Во-первых, для верхнего прямоугольника необходимо масштабировать не ширину (её оставляем равным 100%), а высоту на 86.603%. Во-вторых, для сдвига перемещаем центр поворота в нижний левый угол и сдвигаем на 30° (удерживаем клавишу Ctrl для аккуратного точного сдвига). Но это еще не всё. Далее берёмся за верхнюю левую стрелку и поворачиваем фигуру по часовой стрелке на 30°, опять удерживая клавишу Ctrl.

Если вы всё сделали правильно, то у вас получилась изометрическая проекция объекта.

Аксонометрическая сетка

В Inkscape есть специальная аксонометрическая сетка (File | Document Properties… | Вкладка Grids/Файл | Свойства документа | Сетки). В выпадающем списке выберите Axonometric grid. Использование аксонометрической сетки позволят создавать объекты в изометрии. Чтобы облегчить рисование ещё больше, можно также включить прилипание. Настройка сетки включает в себя изменения параметров единицы, основной линии и интервала по оси Y. Для большего удобства, можно также задать свои цвета основным и обычным линиям сетки.

Далее вы можете трансформировать объекты, как в верхнем примере, но при этом вам будет помогать сетка.

Общий алгоритм: Object | Transform…| Scale/Объект | Трансформировать | Масштаб, уменьшить ширину на 86,603%. Затем, в том же меню трансформации, следует изменить наклон по вертикали на 30 или −30 градусов (в зависимости от желаемого угла). Либо менять наклон вручную.

Создание параллелепипедов в 3D

С помощью инструмента «Рисовать параллелепипеды в 3D» (Shift+F4) можно создать объекты в изометрической проекции. Необходимо изменить направление точек схода всех трех углов от «конечных» до «бесконечных». А углы параллелепипеда установить в следующие значениях: X:150, Y:90, Z:30.

Чтобы редактировать цвет и обводку отдельной грани, не потеряв свойства трехмерного объекта, можно воспользоваться инструментом «Редактирования узлов и рычагов» (F2). На изображении — верхняя грань сделана прозрачной и стали видны внутренние стенки. А если уменьшить высоту стенок, то можно увидеть и дно.

Реклама

алгоритм — Преобразование координат в изометрии

Вопрос задан 2 месяца назад

Изменён 2 месяца назад

Просмотрен 26 раз

Пытаюсь нарисовать изометрическую карту для игры. Имею следующие параметры:

• Ширина ячейки
• Высота ячейки
• Количество ячеек по ширине
• Количество ячеек по высоте

Карта хранится в двумерном массиве, ячейки обходятся вложенным циклом. На шаге цикла — индекс ячейки по x и по y. Если речь об обычной 2d-карте, то координата ячейки — это [x * cellWidth; y * cellHeight].

Планирую сделать функцию для перевода из экранных координат в изометрические. То есть, в цикле получаю те же

[x * cellWidth; y * cellHeight], передаю их в функцию и получаю изометрические координаты с нужным смещением, чтобы ячейки перекрывали друг друга, как это бывает в изометрии. Эту же функцию планирую использовать для вывода обычных линий на экране. Например, чтобы вывести верхнюю границу карты, получаю 2 точки:

[0; 0]
[mapWidth * cellWidth; 0]

Передаю обе точки в функцию преобразования координат и затем по результирующим координатам рисую линию. И хотя в экранном пространстве это была горизонтальная линия, в финальном выводе линия будет наклонной.

Итак, вопроса всего два:

1. Возможно ли обойтись одной функцией преобразования координат для вывода и ячеек с перекрытием, и обычных линий в изометрическом пространстве?

2. Хватит ли имеющихся данных, чтобы написать такую функцию преобразования (размеры ячейки и количество ячеек по ширине и высоте)?

И если да, то подскажите формулу для преобразования координат.

• алгоритм
• математика
• геометрия

3

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Значение, типы, примеры и преобразование

В этой статье мы будем изучать концепцию изометрии , в частности объясняя, что такое преобразования , а что нет изометрии. Слово «изометрия» — большое причудливое слово и звучит очень сложно. Тем не менее, это не так уж плохо… и даже лучше, вы будете звучать очень умно, когда будете правильно использовать этот термин. Знание того, является ли трансформация формой изометрии, может быть чрезвычайно полезным… оно может помочь нам предсказать, что форма будет выглядеть после преобразования в . Я знаю, держу пари, ты взволнован сейчас. Итак, без лишних слов, давайте определим изометрию…

Изометрия Значение

Изометрия — это тип преобразования, сохраняющий форму и расстояние. Важно отметить, что все изометрии являются преобразованиями, но не все преобразования являются изометриями! Есть 3 основных типа преобразований, подпадающих под изометрию: отражения, переводы и повороты. Любое преобразование, которое изменит размер или форму объекта, не является изометрией, а это означает, что расширение не является изометрией.

Изометрия — это преобразование объекта, которое не меняет его форму или размер.

Свойства изометрии

Три типа изометрического преобразования, о которых вам нужно помнить, это переносы, отражения и повороты. Повторим еще раз: изометрическое преобразование — это преобразование, которое не изменяет форму или размер объекта, а только его расположение на сетке. Если фигура перемещается по сетке и длина каждой стороны не меняется, а изменяется только ее расположение, то произошло изометрическое преобразование.

Преобразование

Преобразование — это тип изометрического преобразования. При перемещении объекта единственное, что происходит, это то, что точки фигуры перемещаются из исходного положения в новое положение, в зависимости от того, что указано в переводе.

Помните! Расстояние между каждой точкой будет точно таким же после выполнения переноса!

Возьмем пятиугольник ABCDE, длина стороны которого равна 1 единице, и переведем его на (3, 2). В данном случае пятиугольник нам уже дан на диаграмме, поэтому нам просто нужно его перевести.

Пятиугольник ABCDE — StudySmarter Originals

Решение:

Приведенный выше вопрос требует от нас перевести фигуру на (3, 2), что означает, что нам нужно нарисовать новое изображение на 3 единицы в ширину и на 2 единицы вверх текущая форма.

Перевод, который мы собираемся выполнить — StudySmarter Originals

Если мы нарисуем первую точку, это поможет нам понять, как должна выглядеть остальная часть фигуры. Мы знаем, что перевод — это изометрическое преобразование, поэтому стороны фигуры будут одинаковыми, единственное, что изменится, — это ее расположение. A’ — это левый нижний угол нашей новой фигуры, напрямую связанный с исходной точкой A нашей первой фигуры.

Имея эту информацию, мы можем нарисовать остальную часть пятиугольника, так как его стороны будут иметь длину 1 единицу, потому что перенос является изометрическим преобразованием.

Завершенный перевод — StudySmarter Originals

Выше показано, как выглядит наше окончательное преобразование!

Отражения

Отражение — это еще один тип изометрического преобразования, при котором объект отражается поперек оси. Исходный объект и отраженный объект будут иметь одинаковые размеры, поэтому отражение является типом изометрии.

Возьмем квадрат ABCD со стороной 1 единица:

Квадрат ABCD — StudySmarter Originals

Решение:

Если мы хотим выполнить отражение по оси Y, нам просто нужно скопируйте фигуру в соответствующую позицию. В этом случае, отражая ось Y, мы знаем, что координаты Y формы не должны меняться. С другой стороны, мы знаем, что x-координата каждой точки изменится, чтобы стать соответствующей отрицательной x-координатой. В этом случае новое изображение будет выглядеть так:

Завершенная трансформация — StudySmarter Originals

Точка A отразилась в точке A’, точка B отразилась в точке B’ и так далее. Вы должны заметить, что расстояние до оси Y не меняется между прообразом и новым, отраженным изображением. Кроме того, длины сторон каждого квадрата одинаковы.

Помните, что A’ произносится как «A Prime».

Вращения

Последний тип изометрического преобразования — вращение. Вращение — это когда объект перемещается вокруг точки по кругу. Опять же, размер объекта не изменяется, и поэтому вращение является формой изометрического преобразования.

Вам дан треугольник ABC, и вас просят повернуть его на 90 ^o по часовой стрелке вокруг начала координат.

Треугольник ABC — StudySmarter Originals

Решение:

Выше мы видим треугольник и точку, отмеченную как центр вращения. Если мы хотим повернуть его по часовой стрелке, мы должны повернуть его вправо.

Завершенный поворот исходного треугольника — StudySmarter Originals

Вот и все! В этом случае мы можем видеть, что вращение является изометрическим переносом, поскольку каждая длина исходного треугольника остается неизменной, а также расстояние каждой точки треугольника от начала координат.

Вам дан четырехугольник ABCD, и вас просят повернуть его на 90 градусов против часовой стрелки вокруг начала координат.

Четырехугольник ABCD- StudySmarter Originals

Решение:

Если мы хотим повернуть его против часовой стрелки, мы должны повернуть его влево относительно начала координат. Для точки A мы видим, что она составляет 15 единиц по оси x и 10 единиц вверх по оси y. Таким образом, чтобы повернуться на 90 градусов против часовой стрелки, ему нужно пройти 10 единиц влево от начала координат и 15 единиц вверх. То же самое можно сделать для точек B, C и D. Соединив точки вместе, мы получим параллелограмм A’B’C’D’.

Завершенный поворот нашего исходного параллелограмма — StudySmarter Originals

В этом случае мы можем видеть, что вращение является изометрическим перемещением, поскольку каждая длина исходной формы остается неизменной, а также расстояние между каждой точкой треугольник из начала координат.

Законы изометрии

Теперь, когда мы разобрались, что такое изометрия, давайте рассмотрим еще один аспект изометрии: прямую и противоположную изометрию. Каждое изометрическое преобразование является либо прямым, либо противоположным изометрическим преобразованием. Но что такое прямая и противоположная изометрии? Что ж, прямая изометрия — это тип преобразования, который сохраняет ориентацию, помимо изометрии, требующей, чтобы все стороны фигуры оставались одинаковой длины. С другой стороны, противоположная изометрия сохраняет длины сторон формы одинаковыми, но меняет порядок каждой вершины.

Прямая изометрия

Прямая изометрия сохраняет длину размера фигуры, а также порядок ее вершин.

В область прямой изометрии попадают два преобразования, это переносы и повороты. Это связано с тем, что оба этих преобразования сохраняют порядок вершин фигуры, а также сохраняют одинаковую длину стороны в прообразе и новом изображении.

Пример прямой изометрии — StudySmarter Originals

Обратите внимание, что на диаграмме выше порядок букв вокруг формы фактически не меняется. Это основное правило, определяющее трансформацию как прямую изометрию.

Противоположная изометрия

Противоположная изометрия также сохраняет расстояния, но в отличие от прямой изометрии меняет порядок своих вершин на противоположный.

Существует только одно преобразование, подходящее под определение противоположной изометрии, и это отражение. Это связано с тем, что отражение изменяет порядок, в котором находятся вершины фигуры после того, как оно было выполнено.

Пример противоположной изометрии — оригиналы StudySmarter

Обратите внимание, как на диаграмме выше после отражения треугольника порядок углов изменился! Это потому, что отражение — это противоположная изометрия, поэтому форма также выглядит как противоположная версия самой себя после того, как она была отражена.

Изометрия. Ключевые выводы

• Изометрическое преобразование — это любой тип преобразования, который сохраняет длину и общую форму объекта.
• Тремя основными формами изометрического преобразования являются перемещения, повороты и отражения.
• Существует два типа изометрического преобразования: прямая изометрия и противоположная изометрия.
• Прямые изометрии — это перемещения и повороты, и они сохраняют порядок углов.
• Противоположная изометрия — это отражение, так как порядок вершин меняется на противоположный.

Геометрия: Изометрия

Слово изометрия используется для описания процесса перемещения геометрического объекта из одного места в другое без изменения его размера или формы. Представьте двух муравьев, сидящих на треугольнике, пока вы перемещаете его из одного места в другое. Расположение муравьев изменится относительно плоскости (потому что они на треугольнике, а треугольник сдвинулся). А вот расположение муравьев относительно друг друга не имеет. Всякий раз, когда вы преобразуете геометрическую фигуру так, чтобы относительное расстояние между любыми двумя точками не изменилось, такое преобразование называется изометрией.

Есть много способов перемещать двухмерные фигуры по плоскости, но возможны только четыре типа изометрии: перемещение, отражение, вращение и скользящее отражение. Эти преобразования также известны как жесткое движение. Четыре типа жесткого движения (поступательное, отражение, вращение и скользящее отражение) называются основными жесткими движениями на плоскости. Они будут обсуждаться более подробно по ходу раздела.

Касательная линия

Для трехмерных объектов в пространстве существует только шесть возможных типов жесткого движения: поступательное, отражение, вращение, скользящее отражение, вращательное отражение и винтовое перемещение. Эти изометрии называются основными твердыми движениями в пространстве.

Solid Facts

Изометрия — это преобразование, сохраняющее относительное расстояние между точками.

При изометрии изображение точки является ее конечным положением.

фиксированная точка

изометрии точка, которая является собственным изображением под изометрия.

Изометрия на плоскости перемещает каждую точку из ее начального положения P в конечное положение P´, называемое изображением точки P. Точка может оказаться там, где она началась. В этом случае P = P´ и P называется неподвижной точкой изометрии. При изучении изометрии важны только начальная и конечная позиции. Неважно, что происходит между ними.

Рассмотрим следующий пример: предположим, у вас на комоде лежит четвертак. Утром вы берете его и кладете в карман. Вы ходите в школу, прогуливаетесь по торговому центру, переворачиваете мяч, чтобы увидеть, кто первым получит мяч в игре в касательный футбол, возвращаетесь домой измученным и кладете его обратно на комод. Хотя в вашем квартале было приключение на всю жизнь, чистый результат не очень впечатляет; он начал свой день на комоде и закончил свой день на комоде. О, конечно, он мог бы оказаться в другом месте на комоде, и он мог бы быть вверх ногами, а не решкой вверх, но, если не считать этих незначительных отличий, он не намного лучше, чем в начале дня.

С точки зрения квартала был более простой способ оказаться там, где он оказался. Того же эффекта можно было бы добиться, переставив четвертак на новое место первым делом утром. Тогда у него мог бы быть целый день, чтобы сидеть на комоде и созерцать жизнь, вселенную и все такое.

Если две изометрии имеют одинаковый результирующий эффект, они считаются эквивалентными изометриями. В изометрии важны только «цели», а «средства» ничего не значат.

Изометрия не может слишком сильно изменить геометрическую фигуру. Изометрия не изменит размер или форму фигуры. Я могу выразить это более точным математическим языком. Изображение объекта при изометрии является конгруэнтным объектом. Изометрия не повлияет ни на коллинеарность точек, ни на взаимное расположение точек. Другими словами, если три точки лежат на одной прямой до применения изометрии, они будут лежать на одной прямой и после. То же самое верно и для промежуточности. Если точка находится между двумя другими точками до применения изометрии, она останется между двумя другими точками и после.

Если свойство не изменяется во время преобразования, говорят, что это свойство равно 9.0189 инвариант . Коллинеарность и промежуточность инвариантны относительно изометрии. Угловая мера также инвариантна относительно изометрии.

Если у вас есть два конгруэнтных треугольника, расположенных в той же плоскости оказывается, что существует изометрия (или последовательность изометрий), переводящая один треугольник в другой. Таким образом, все конгруэнтные треугольники происходят из одного треугольника и изометрии, которые перемещают его в плоскости.

У вас может возникнуть соблазн подумать, что для того, чтобы понять влияние изометрии на фигуру, вам нужно знать, куда перемещается каждая точка фигуры. Это было бы слишком сложно. Оказывается, вам нужно знать, куда идут несколько точек, чтобы знать, куда идут все точки. Сколько очков «несколько» зависит от типа движения. Например, при переводе вам нужно знать только начальное и конечное положение одной точки.

Это потому, что куда идет одна точка, за ней, так сказать, следуют остальные. При изометрии расстояние между точками должно оставаться одинаковым, поэтому все они как бы слипаются.

Solid Facts

Свойство является инвариантным , если оно остается неизменным в результате преобразования.

Поскольку вы сосредоточитесь на начальном и конечном положениях точек, лучше всего обсудить это в декартовой системе координат. Это потому, что декартова система координат позволяет легко отслеживать расположение точек на плоскости.

Переводы

Когда вы перемещаете объект по плоскости, вы перемещаете его. А

перевод на плоскости — это изометрия, которая перемещает каждую точку на плоскости на фиксированное расстояние в фиксированном направлении. Вы не переворачиваете его, не поворачиваете, не скручиваете и не хлопаете. На самом деле, с переводами, если вы знаете, куда идет одна точка, вы знаете, куда идут все они.

Solid Facts

Преобразование на плоскости — это изометрия, которая перемещает каждую точку на плоскости на фиксированное расстояние в фиксированном направлении.

Самый простой перевод — «ничего не делать». Это часто называют преобразованием идентичности и обозначают I. Ваша фигура оказывается там, где она началась. Все точки заканчиваются там, где они начинались, поэтому все точки являются фиксированными точками. Тождественный перевод — единственный перевод с фиксированными точками. При любом другом переводе, если вы переместите одну точку, вы переместите их все. На рис. 25.1 показано перемещение треугольника.

Рисунок 25.1 Перевод треугольника.

Переводы сохраняют ориентацию: левое остается левым, правое остается правым, верхнее остается верхним, а нижнее остается нижним. Изометрии, сохраняющие ориентацию, называются правильными изометриями.

Отражения

w3.org/1999/xhtml»> Solid Facts

Отражение в плоскости перемещает объект в новое положение, которое является зеркальным отражением исходного положения.

A отражение в плоскости перемещает объект в новое положение, которое является зеркальным отражением исходного положения. Зеркало представляет собой линию, называемую осью отражения. Если вы знаете ось отражения, вы знаете все, что нужно знать об изометрии.

Отражения сложны, потому что меняется система отсчета. Левое может стать правым, а верх может стать низом, в зависимости от оси отражения. Ориентация меняется при отражении:

По часовой стрелке становится против часовой, и наоборот. Поскольку отражения меняют ориентацию, их называют неправильными изометриями. Отражение легко дезориентирует, и это может подтвердить любой, кто бродил по зеркальному дому. На рис. 25.2 показано отражение треугольника.

Рисунок 25.2 Отражение прямоугольного треугольника.

Нет отражения личности. Другими словами, не существует такого отражения, при котором каждая точка плоскости оставалась бы неизменной. Обратите внимание, что при отражении все точки на оси отражения не двигаются. Вот где фиксированные точки. Существует несколько вариантов относительно количества фиксированных точек. Неподвижных точек может не быть, может быть несколько (любое конечное число) неподвижных точек или бесконечно много неподвижных точек. Все зависит от отражаемого объекта и расположения оси отражения. На рис. 25.3 показано отражение нескольких геометрических фигур. На первом рисунке неподвижных точек нет. На втором рисунке две неподвижные точки, а на третьем фигуре бесконечно много неподвижных точек.

Рис. 25.3 Отраженный объект, не имеющий неподвижных точек, имеющий две неподвижные точки и бесконечное множество неподвижных точек.

Запутанный узел

На рис. 25.3 вы должны быть осторожны на втором рисунке. Из-за симметрии треугольника и расположения оси отражения может показаться, что все точки являются фиксированными точками. Но зафиксированы только точки пересечения треугольника и оси отражения. Несмотря на то, что общая фигура не меняется при отражении, точки, не лежащие на оси отражения, меняют положение.

Отражение можно описать тем, как оно изменяет точку P, не лежащую на оси отражения. Если у вас есть точка P и ось отражения, постройте линию l, перпендикулярную оси отражения, которая проходит через P. Назовите точку пересечения двух перпендикулярных линий M. Постройте окружность с центром в M, которая проходит через P. Эта окружность пересечет l в другой точке помимо P, скажем, в P´. Это новая точка, где P перемещается отражением. Обратите внимание, что это отражение также переместит P´ в P.

Это только половина того, что ты можешь сделать. Если у вас есть точка P и вы знаете точку P´, куда перемещается отражение P, то вы можете найти ось отражения. Предыдущее обсуждение конструкции дает это. Ось отражения — это как раз биссектриса отрезка ¯PP´! И вы знаете все о построении серединных перпендикуляров.

Что произойдет, если дважды отразить объект по одной и той же оси отражения? Описанные выше конструкции должны пролить свет на этот вопрос. Если P и P’ поменяются местами, а затем снова поменяются местами, все вернется на круги своя. На неискушенный взгляд ничего не изменилось. Это преобразование идентичности, о котором упоминалось в переводах. Таким образом, даже если идентичности отражения как таковой нет, если вы дважды отразите одну и ту же ось отражения, вы сгенерируете преобразование идентичности.

Касательная линия

Движение обычно связано с изменением. Если что-то неподвижно, движется ли оно? Следует ли считать преобразование тождества жестким движением? Если вы уезжаете в отпуск, а затем возвращаетесь домой, действительно ли вы переехали? Следует ли сосредоточиться на процессе или результате? Использование термина «изометрия», а не «жесткое движение», эффективно отвлекает внимание от коннотаций, связанных с аспектом «движения» жесткого движения.

оборотов

Вращение включает изометрию, при которой одна точка остается фиксированной, а все остальные точки перемещаются на определенный угол относительно фиксированной точки. Чтобы описать вращение, вы должны знать точку поворота, называемую центром вращения. Вы также должны знать количество оборотов. Это определяется углом и направлением. Например, вы можете повернуть фигуру вокруг точки P на угол 90º, но вам нужно знать, по часовой стрелке или против часовой стрелки. На рис. 25.4 показаны некоторые примеры поворотов вокруг некоторых точек.

Solid Facts

Вращение — это изометрия, при которой каждая точка перемещается на фиксированный угол относительно центральной точки.

Рисунок 25.4 Примеры поворотов фигур.

В отличие от тождественного вращения, вращения имеют одну фиксированную точку: центр вращения. Если вы повернете точку, вы не измените ее, потому что она не имеет размера, о котором можно было бы говорить. Кроме того, поворот сохраняет ориентацию. Все вращается на один и тот же угол в одном направлении, так что лево остается левым, а право остается правым. Вращения являются правильными изометриями. Поскольку вращения — это правильные изометрии, а отражения — неправильные изометрии, вращение никогда не может быть эквивалентно отражению.

Чтобы описать вращение, вам нужно указать больше информации, чем исходная и конечная точки одной точки. Бесконечное количество вращений, каждое из которых имеет свой центр вращения, приведет определенную точку P к ее конечному местоположению P´. У всех этих различных вращений есть что-то общее. Все центры вращения находятся на серединном перпендикуляре к отрезку ¯PP´. Чтобы точно описать вращение, вам нужно знать, как меняются две точки, а не только любые две точки. Серединные перпендикуляры отрезков, соединяющих начальное и конечное положения точек, должны быть различными. Предположим, вы знаете, что P движется в P´, а Q движется в Q´, причем биссектриса ¯PP´ отлична от биссектрисы ¯QQ´. Тогда вращение задается полностью. Рисунок 25.5 поможет вам визуализировать то, что я пытаюсь описать.

Эврика!

Поворот на 360º оставляет все без изменений; вы прошли «полный круг». Вы видели три разных способа эффективно оставить вещи в покое: перемещение «ничего не делать», дважды отражение вокруг одной и той же оси отражения и вращение на 360º. Каждая из этих изометрий эквивалентна, потому что конечный результат одинаков.

Центр вращения должен лежать на серединных перпендикулярах к ¯PP´ и ¯QQ´ , и вы знаете, что две различные непараллельные прямые пересекаются в одной точке. Точка пересечения серединных перпендикуляров будет центром вращения C. Чтобы найти угол вращения, просто найдите mPCP´.

Рисунок 25.5 Вращение с центром вращения в точке C и углом вращения mPCP´.

Скользящие отражения

Скользящее отражение состоит из переноса, за которым следует отражение. Ось отражения должна быть параллельна направлению переноса. На рис. 25.6 показана фигура, преобразованная скользящим отражением. Обратите внимание, что направление переноса и ось отражения параллельны.

Достоверные факты

Скользящее отражение — это изометрия, состоящая из переноса, за которым следует отражение.

Обратите внимание, что ориентация изменилась. Если вы перечислите вершины треугольника по часовой стрелке, порядок будет A, B и C. Если вы перечислите вершины получившегося треугольника по часовой стрелке, порядок будет A´ , C´ , и B´ . Поскольку ориентация изменилась, скользящие отражения являются неправильными изометриями.

Чтобы понять эффекты скользящего отражения, вам нужно больше информации, чем то, где заканчивается только одна точка. Как и в случае с вращением, вам нужно знать, где заканчиваются две точки. Поскольку перемещение и ось отражения параллельны, легко определить ось отражения, если известно, как перемещаются две точки. Если P переместить в P´, а Q переместить в Q´, осью отражения будет отрезок, соединяющий середины отрезков ¯PP´ и ¯QQ´. Когда ось отражения известна, вам нужно отразить точку P´ поперек оси отражения. Это даст вам промежуточную точку P*. Трансляционная часть скользящего отражения (другими словами, скользящая часть) — это трансляция, которая переместила P в P*. Теперь вы знаете поступательное движение и ось отражения, значит, вы знаете все об изометрии.

Поскольку скользящее отражение — это и перенос, и отражение, у него не будет неподвижных точек (при условии, что перенос не является тождеством!). Это потому, что нетривиальные переводы не имеют фиксированных точек.

Рис. 25.6 ABC претерпевает скользящее отражение.

Выдержки из Полное руководство идиота по геометрии © 2004 Дениз Сечеи, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , член Penguin Group (USA) Inc.