Золотое сечение: Как это работает?
- Дизайн
- 4 мин на чтение
- 62149
Золотое сечение — это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве — во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.
Определение
Наиболее емкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая — ко всему целому. Приблизительная его величина — 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.
Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии.
Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.
История
Представление о золотых пропорциях имели древние египтяне, знали о них и на Руси, но впервые научно золотое сечение объяснил монах Лука Пачоли в книге «Божественная пропорция» (1509), иллюстрации к которой предположительно сделал Леонардо да Винчи. Пачоли усматривал в золотом сечении божественное триединство: малый отрезок олицетворял Сына, большой — Отца, а целое — Святой дух.
Непосредственным образом с правилом золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. В результате решения одной из задач ученый вышел на последовательность чисел, известную сейчас как ряд Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. На отношение этой последовательности к золотой пропорции обратил внимание Кеплер: «Устроена она так, что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Сейчас ряд Фибоначчи — это арифметическая основа для расчетов пропорций золотого сечения во всех его проявлениях.
Леонардо да Винчи также много времени посвятил изучению особенностей золотого сечения, скорее всего, именно ему принадлежит и сам термин. Его рисунки стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, доказывают, что каждый из полученных при сечении прямоугольников дает соотношения сторон в золотом делении.
Со временем правило золотого сечения превратилось в академическую рутину, и только философ Адольф Цейзинг в 1855 году вернул ему вторую жизнь. Он довел до абсолюта пропорции золотого сечения, сделав их универсальными для всех явлений окружающего мира. Впрочем, его «математическое эстетство» вызывало много критики.
Природа
Даже не вдаваясь в расчеты, золотое сечение можно без труда обнаружить в природе. Так, под него попадают соотношение хвоста и тела ящерицы, расстояния между листьями на ветке, есть золотое сечение и в форме яйца, если условную линию провести через его наиболее широкую часть.
Белорусский ученый Эдуард Сороко, который изучал формы золотых делений в природе, отмечал, что все растущее и стремящееся занять свое место в пространстве, наделено пропорциями золотого сечения. По его мнению, одна из самых интересных форм это закручивание по спирали.
Еще Архимед, уделяя внимание спирали, вывел на основе ее формы уравнение, которое и сейчас применяется в технике. Позднее Гете отмечал тяготение природы к спиральным формам, называя спираль «кривой жизни». Современными учеными было установлено, что такие проявления спиральных форм в природе как раковина улитки, расположение семян подсолнечника, узоры паутины, движение урагана, строение ДНК и даже структура галактик заключают в себе ряд Фибоначчи.
Человек
Модельеры и дизайнеры одежды все расчеты делают, исходя из пропорций золотого сечения. Человек — это универсальная форма для проверки законов золотого сечения. Конечно, от природы далеко не у всех людей пропорции идеальны, что создает определенные сложности с подбором одежды.
В дневнике Леонардо да Винчи есть рисунок вписанного в окружность обнаженного человека, находящегося в двух наложенных друг на друга позициях. Опираясь на исследования римского архитектора Витрувия, Леонардо подобным образом пытался установить пропорции человеческого тела. Позднее французский архитектор Ле Корбюзье, используя «Витрувианского человека» Леонардо, создал собственную шкалу «гармонических пропорций», повлиявшую на эстетику архитектуры XX века.
Адольф Цейзинг, исследуя пропорциональность человека, проделал колоссальную работу. Он измерил порядка двух тысяч человеческих тел, а также множество античных статуй и вывел, что золотое сечение выражает среднестатистический закон. В человеке ему подчинены практически все части тела, но главный показатель золотого сечения это деление тела точкой пупа.
В результате измерений исследователь установил, что пропорции мужского тела 13:8 ближе к золотому сечению, чем пропорции женского тела — 8:5.
Искусство пространственных форм
Художник Василий Суриков говорил, «что в композиции есть непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика».
Долгое время художники следовали этому закону интуитивно, но после Леонардо да Винчи процесс создания живописного полотна уже не обходится без решения геометрических задач. Например, Альбрехт Дюрер для определения точек золотого сечения использовал изобретенный им пропорциональный циркуль.
Искусствовед Ф. В. Ковалев, подробно исследовав картину Николая Ге «Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском», отмечает, что каждая деталь полотна, будь то камин, этажерка, кресло или сам поэт, строго вписаны в золотые пропорции.
Исследователи золотого сечения без устали изучают и замеряют шедевры архитектуры, утверждая, что они стали таковыми, потому что созданы по золотым канонам: в их списке Великие пирамиды Гизы, Собор Парижской Богоматери, Храм Василия Блаженного, Парфенон.
И сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.
Слово, звук и кинолента
Формы временно?го искусства по-своему демонстрируют нам принцип золотого деления. Литературоведы, к примеру, обратили внимание, что наиболее популярное количество строк в стихотворениях позднего периода творчества Пушкина соответствует ряду Фибоначчи — 5, 8, 13, 21, 34.
Действует правило золотого сечения и в отдельно взятых произведениях русского классика. Так кульминационным моментом «Пиковой дамы» является драматическая сцена Германа и графини, заканчивающаяся смертью последней. В повести 853 строки, а кульминация приходится на 535 строке (853:535=1,6) — это и есть точка золотого сечения.
Советский музыковед Э. К. Розенов отмечает поразительную точность соотношений золотого сечения в строгих и свободных формах произведений Иоганна Себастьяна Баха, что соответствует вдумчивому, сосредоточенному, технически выверенному стилю мастера. Это справедливо и в отношении выдающихся творений других композиторов, где на точку золотого сечения обычно приходится наиболее яркое или неожиданное музыкальное решение.
Кинорежиссер Сергей Эйзенштейн сценарий своего фильма «Броненосец Потёмкин» сознательно согласовывал с правилом золотого сечения, разделив ленту на пять частей. В первых трех разделах действие разворачивается на корабле, а в последних двух — в Одессе. Переход на сцены в городе и есть золотая середина фильма.
Источник: Academic Painting
- #дизайн
- #статья
- 1
Что такое золотое сечение и правда ли оно повсюду
18 июля 2021ЛикбезЖизнь
Спойлер: это лишь красивая математическая легенда.
Поделиться
0Что такое золотое сечение
Это соотношение двух неравных чисел, при котором большее так же относится к меньшему, как сумма этих чисел к большему. Золотое сечение равно примерно 1,618, или 1,62, если округлить, и обозначается греческой буквой φ, «фи» — от имени древнегреческого скульптора Фидия. Считается, что он использовал такие пропорции при оформлении Парфенона.
Наиболее известные графические представления золотого сечения — это прямоугольник с соотношением сторон примерно 62:48 и построенная в нём спираль.
1 / 0
«Золотой прямоугольник» можно разделить на такие же, только меньшего размера. Изображение: Dicklyon / Wikimedia Commons
2 / 0
«Золотая спираль» (красная), вписанная в «золотой прямоугольник». Изображение: Silverhammermba & Jahobr / Wikimedia Commons
Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Это ряд чисел, каждое из которых равняется сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.
Чем дальше продолжается этот ряд, тем ближе соотношение соседних чисел в нём к 1,618. Например, 3/2=1,5; 8/5=1,6, а 34/21= 1,619.
Почему золотое сечение так популярно
Впервые им заинтересовались ещё древнегреческие математики Пифагор и Евклид. Они считали, что на числах построено всё мироздание и с их помощью можно объяснить любой феномен. Неудивительно, что элегантное соотношение так заинтересовало античных мыслителей.
Вслед за ними золотым сечением увлеклись многие выдающиеся учёные и деятели искусства. Например, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Иоганн Кеплер, Ле Корбюзье, Сальвадор Дали и Ричард Пенроуз.
Его считают «божественной пропорцией»
Название «золотое сечение» придумал немецкий математик XIX века Мартин Ом. До него это соотношение именовали «божественной пропорцией».
Из‑за приписываемых характеристик золотое сечение старались применять как можно чаще. Так, во времена Возрождения это число считалось идеальным способом для выбора размера.
«Золотой прямоугольник», например, нередко использовали при создании книг и картин. А линию пояса называли границей золотого сечения человеческого тела.
Некоторые и поныне считают эту пропорцию секретом привлекательности и примером универсальной гармонии, приятной человеческому глазу. Например, о золотом сечении любят говорить пластические хирурги. А ещё это число популярно как никакое другое в математике.
Его можно встретить в природе
Числа Фибоначчи и спирали, подобные золотому сечению, часто обнаруживаются в природе. Например, в количестве лепестков у цветов или форме растений.
Часть растения эониума. Фото: Max Ronnersjö / Wikimedia CommonsЕго обнаруживают в произведениях архитектуры и искусства
Например, «божественные пропорции» находят в Парфеноне и египетских пирамидах. Также широко распространено заблуждение, что «Мона Лиза» написана в соответствии с числом φ.
Почему универсальность золотого сечения — миф
Однако при тщательном изучении становится понятно, что эта пропорция не так уж всеобъемлюща.
Божественность золотого сечения преувеличивается
Золотому сечению придают больше значения, чем есть в действительности. Красивые узоры и налёт таинственности сделали из обычного геометрического соотношения математический миф, который, к примеру, очень любят нумерологи.
Чаще всего вещи причисляют к золотому сечению с большими допущениями. Ни о какой точности и математической универсальности в таком случае говорить не приходится. Поэтому при желании можно обнаружить «божественные пропорции» где угодно.
В природе золотое сечение не так уж распространено
Его находят далеко не везде. Например, у маков всегда четыре лепестка, а в ряд Фибоначчи четвёрка не входит. Также нередко встречается четырёхлистный клевер. Раковины морских моллюсков похожи на спираль золотого сечения, но всё-таки другие. У них больше витков, и расстояние между ними меньше. Ни у одного моллюска коэффициент скручивания раковины и близко не равен 1,62. Это видно даже невооружённым глазом:
1 / 0
Спираль морского моллюска.
Изображение: Florian Elias Rieser / Wikimedia Commons
2 / 0
Спираль Фибоначчи, близкая к золотому сечению. Изображение: Jahobr / Wikimedia Commons
В человеческом теле же столько точек, от которых можно производить измерение, что при желании реально найти золотое сечение где угодно. Вот только с большой вероятностью у разных людей «божественную пропорцию» придётся искать в разных местах, так как мы можем сильно отличаться друг от друга.
В искусстве оно тоже встречается не так уж часто
Изучение 565 картин выдающихся художников показало, что в среднем соотношение сторон в работах составляет 1,34. Это явно не дотягивает до золотого сечения. Учёные не находят его даже в произведениях Леонардо да Винчи.
Археологические исследования не подтверждают и того, что древние греки могли использовать золотое сечение при постройке Парфенона. Из более чем 100 памятников древнегреческой архитектуры это число нашлось в пропорциях только четырёх объектов: башни, алтаря, гробницы и надгробия.
Не могли пользоваться золотым сечением и древние египтяне, не обладавшие достаточным уровнем технологий, чтобы точно высчитывать пропорции.
Кому золотое сечение может быть полезно на самом деле
Современная математика использует золотое сечение и числа Фибоначчи при описании фракталов — фигур, которые проявляют самоподобие.
Фрактальная форма кочана капусты Романеско. Фото: Ivar Leidus / Wikimedia CommonsЗнание о числе φ играет важную роль в изучении хаоса и изменяющихся (динамических) систем. Оно помогает понять, как природа развивается и самоорганизуется.
Также числа Фибоначчи полезны при решении некоторых сложных задач. Например, с помощью этих чисел советский математик Юрий Матиясевич доказал, что не существует универсального алгоритма решения уравнений с как минимум двумя неизвестными.
Читайте также 💆♂️👩🔬
- Продолжите последовательность! 10 мини-задач для разминки мозга
- Как округлять числа
- Интересные математические факты для тех, кто хочет больше узнать о мире вокруг
- Гимнастика для ума: 10 увлекательных задач с числами
- 10 увлекательных задач от советского математика
Золотое сечение | Примеры, определение и факты
золотое сечение
Просмотреть все материалы
- Похожие темы:
- игра в числа пентаграмма количество иррациональное число золотой прямоугольник
Просмотреть весь связанный контент →
золотое сечение , также известное как золотое сечение, золотое сечение или божественная пропорция , в математике иррациональное число (1 + квадратный корень из √5)/2, часто обозначаемое греческой буквой ϕ или τ, приблизительно равное 1,618.
Древние греки признавали это свойство «разделения» или «разделения», фраза, которая в конечном итоге была сокращена до просто «раздел». Более 2000 лет спустя и «отношение», и «сечение» были названы «золотыми» немецким математиком Мартином Омом в 1835 году.
Греки также заметили, что золотое сечение обеспечивает наиболее эстетически приятную пропорцию сторон прямоугольника. , понятие, которое было усилено в эпоху Возрождения, например, работами итальянского эрудита Леонардо да Винчи и публикацией
Britannica Quiz
Числа и математика
A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.
Золотое сечение встречается во многих математических контекстах. Его геометрически можно построить с помощью линейки и циркуля, и он возникает при исследовании архимедовых и платоновых тел. Это предел соотношений последовательных членов последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, в которой каждый член после второго является суммой двух предыдущих, а также значение самой простой из цепных дробей, а именно 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 +⋯, 9)0003
Стефан С. Карлсон
Фи: Золотое сечение | Живая наука
Золотое сечение — одно из самых известных иррациональных чисел; оно продолжается вечно и не может быть точно выражено без бесконечного пространства. (Изображение предоставлено Shutterstock)На протяжении столетий вокруг фи было создано множество преданий, таких как представление о том, что оно олицетворяет совершенную красоту или уникально встречается в природе. Но многое из этого не имеет под собой реальной основы.
Определение фи
Фи можно определить, взяв палку и разломив ее на две части. Если соотношение между этими двумя частями такое же, как соотношение между общей палочкой и большим сегментом, говорят, что пропорции находятся в золотом сечении.
Это было впервые описано греческим математиком Евклидом, хотя, по словам математика, он называл это «делением в крайнем и среднем отношении».2 = phi + 1
Это представление можно преобразовать в квадратное уравнение с двумя решениями: (1 + √5)/2 и (1 — √5)/2. Первое решение дает положительное иррациональное число 1,6180339887… (точки означают, что числа продолжаются вечно), и это обычно то, что известно как фи. Отрицательное решение равно -0,6180339887… (обратите внимание, что числа после запятой совпадают) и иногда называется малым фи.
Последний и довольно элегантный способ представления фи выглядит следующим образом: 90,5 * 0,5 + 0,5
Это пять, возведенные в половинную степень, умноженное на половину плюс половина. 11 самых красивых математических уравнений Эта последовательность идет 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и так далее. Это также связано со многими заблуждениями.
Взяв отношение последовательных чисел Фибоначчи, вы можете все ближе и ближе приближаться к фи.
Интересно, что если вы расширите последовательность Фибоначчи в обратном направлении, то есть до нуля и до отрицательных чисел, отношение этих чисел будет все ближе и ближе приближать вас к отрицательному решению, маленькому фи -0,6180339887…
Существует ли золотое сечение в природа?
Хотя люди знали о фи уже давно, известность о нем пришла лишь в последние столетия. Итальянский математик эпохи Возрождения Лука Пачоли написал книгу под названием «De Divina Proportione» («Божественная пропорция») в 1509 году.по словам Нотта, это обсуждало и популяризировало фи.
Пачоли использовал рисунки, сделанные Леонардо да Винчи , которые включали фи, и возможно, что да Винчи был первым, кто назвал его «sectio aurea» (латинское «золотое сечение»). Только в 1800-х годах американский математик Марк Барр использовал греческую букву Φ (фи) для обозначения этого числа.
Как свидетельствуют другие названия числа, такие как божественная пропорция и золотое сечение, фи приписывается многим чудесным свойствам.
Например, энтузиасты фи часто упоминают, что некоторые размеры Великой пирамиды в Гизе , такие как длина основания и/или высота, находятся в золотом сечении. Другие утверждают, что греки использовали фи при проектировании Парфенона или в своих прекрасных скульптурах.
Энтузиасты Фи любят указывать на то, что пирамиды Гизы, построенные между 2589 и 2504 годами до нашей эры, были построены в соответствии с золотым сечением. Но измерения по своей природе неточны и произвольны, поэтому пирамиды не являются точными примерами золотого сечения. (Изображение предоставлено Дэном Брекволдтом (открывается в новой вкладке) Shutterstock (открывается в новой вкладке)) Но, как указал Марковски в своей статье 1992 года в College Mathematics Journal под названием «Заблуждения о золотом сечении»: «измерения реальных объектов могут быть только приблизительными.
Поверхности реальных объектов никогда не бывает идеально ровным». Далее он написал, что неточности в точности измерений приводят к еще большим неточностям, когда эти измерения переводятся в соотношения, поэтому утверждения о древних зданиях или произведениях искусства, соответствующих фи, следует воспринимать с большой долей скептицизма.
Часто говорят, что размеры архитектурных шедевров близки к фи, но, как заметил Марковский, иногда это означает, что люди просто ищут соотношение, которое дает 1,6, и называют это число фи. Найти два отрезка, отношение которых равно 1,6, не представляет особой сложности. Выбор места для измерения может быть произвольным и при необходимости корректироваться, чтобы приблизить значения к фи.
Попытки найти фи в человеческом теле также приводят к подобным заблуждениям. В недавнем исследовании утверждалось, что золотое сечение найдено в различных пропорциях человеческого черепа. Но как сказал Дейл Риттер, ведущий преподаватель анатомии человека в Медицинской школе Альперта (AMS) Университета Брауна в Род-Айленде, 9 лет.
«Я считаю, что основная проблема с этой статьей заключается в том, что в ней очень мало (а возможно, и нет) науки… с таким количеством костей и так много интересных мест на этих костях, я думаю, там было бы, по крайней мере, несколько «золотых сечений» в других частях скелетной системы человека .
Связанный: Фотографии: Большие числа, определяющие Вселенную
И хотя говорят, что фи широко распространена в природе, ее значение преувеличено. Лепестки цветов часто имеют числа Фибоначчи, например, пять или восемь, а семена сосновых шишек вырастают наружу по спирали чисел Фибоначчи. Но существует столько же растений, которые не следуют этому правилу, сколько и тех, которые ему следуют, Кит Девлин, математик из Стэнфордского университета, рассказал Live Science .
Люди утверждают, что морские раковины, такие как раковины наутилуса, обладают свойствами, в которых скрывается фи.
Но, как указывает Девлин на своем веб-сайте , «наутилус наращивает свою раковину по логарифмической спирали, т. е. спирали, которая поворачивается на постоянный угол по всей своей длине, что делает его везде самоподобным. постоянный угол — это не золотое сечение. Жаль, я знаю, но это так».
Хотя фи, безусловно, интересная математическая идея, именно мы, люди, придаем значение вещам, которые находим во Вселенной. Сторонник, смотрящий через очки цвета фи, может видеть золотое сечение повсюду. Но всегда полезно выйти за рамки конкретной точки зрения и спросить, действительно ли мир соответствует нашему ограниченному пониманию.
Дополнительные ресурсы:
- Вот полезное поясняющее видео о золотом сечении из Переломный момент Математика .
- Узнайте больше о мифе о золотом сечении в природе от GoldenNumber.net .
- Посмотрите объяснение Академии Хана о золотом сечении.
Адам Манн — независимый журналист с десятилетним стажем, специализирующийся на астрономии и физике.
