Изображение вектора: Векторы, графическое изображение векторов, величина вектора, направление вектора — Независимое театральное объединение "Зрительские симпатии"

Содержание

Векторы, графическое изображение векторов, величина вектора, направление вектора

Векторы могут быть графически представлены направленными отрезками. Длина выбирается по определенной шкале, чтобы обозначить величину вектора, а направление отрезка представляетнаправление вектора. Например, если мы примем, что 1 см представляет 5 км/час, тогда северо-восточный ветер со скоростью 15 км/час будет представлен направленным отрезком длиной 3 cм, как показано на рисунке.

Вектор на плоскости это направленный отрезок. Два вектора равны если они имеют одинаковуювеличину и направление.

Рассмотрим вектор, нарисованный из точки A к точке B. Точка называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой. Символическим обозначением для этого вектора есть (читается как “вектора AB”). Векторы также обозначается жирными буквами, такими как U, V и W. Четыре вектора на рисунке слева имеют одинаковую длину и направление. Поэтому они представляют

равные веторы; то есть,

В контексте векторов мы применяем = чтобы обозначить их равность.

Длина, или величина выражается как ||. Для того, чтобы определить, равны ли векторы, мы находим их величины и направления.

Пример 1 Векторы u, , w показаны на рисунке внизу. Докажите, что u = = w.

Решение Сначала мы находим длину каждого вектора с использованием формулы расстояния:
|u| = √[2 — (-1)]² + (4 — 3)² = √9 + 1 = √10,
|| = √[0 — (-3)]² + [0 — (-1)]² = √9 + 1 = √10,
|w| = √(4 — 1)² + [-1 — (-2)]² = √9 + 1 = √10.
Отсюда
|u| = | = |w|.
Векторы u, , и w, как видно из рисунка, вроде бы имеют одно и то же направление, но мы проверим их наклон. Если прямые, на которых они находятся, имеют одинаковые наклоны, то векторы имеют одно и то же направление. Рассчитываем наклоны:

Так как u, , и w имеют равные величины и одно и то же напраывление,
u = = w.

Имейте в виду, что равность векторов требует только одинаковой величины и одинакового направления, а не расположения в одном месте. На самом верхнем рисунке — пример равности векторов.

Предположим, что человек делает 4 шага на восток, а затем 3 шага на север. Тогда человек будет в 5 шагах от начальной точки в направлении, показанном слева. Вектор в 4 единицы длиной и с направление направо представляет 4 шага на восток и вектор 3 единицы длиной направление вверх представляет 3 шага на север.

Сумма двух этих векторов есть вектор 5-ти шагов величины и в показанном направлении. Сумма также называется результирующим двух векторов.

В общем, два ненулевых вектора u и v могут быть сложены геометрически расположением начальной точки вектора v в конечную точку вектора u, и затем нахождением ветора, который имеет ту же самую начальную точку, что и вектор u и ту же самую конечную точку что и вектор v, как показано на рисунке внизу.

Суммой есть вектор, представленный направленным отрезком из точки A вектора u в конечную точку C вектора v.

Таким образом, если u = и v = , тогда
u + v = + =

Мы также можем описать сложение векторов как совместное размещение начальных точек векторов, построением параллелограмма и нахождением диагонали параллелограмма. (на рисунке внизу.) Это сложение иногда называется как правило параллелограмма сложения векторов. Векторное сложение коммутативно. Как показано на рисунке, оба вектора u + v и v + u представлены одним и тем же направленным отрезком.

Если две силы F₁ и F₂ действуют на один объект, результирующая сила есть сумма F₁ + F₂ этих двух отдельных сил.

Пример Две силы в 15 ньютонов и 25 ньютонов действуют на один объект перпендикулярно друг другу. Найдите их сумму, или результирующую силу и угол, которая она образовывает с большей силой.

Решение Нарисуем условие задачи, в этом случае — прямоугольник, используя v или для представления результирующей. Чтобы найти ее величину, используем теорему Пифагора:
|v|² = 15² + 25² Здесь |v| обозначает длину или величину v.

|v| = √15² + 25²
|v| ≈ 29,2.
Чтобы найти направление, отметим, что так как OAB есть прямым углом,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Используя калькулятор, мы находим θ, угол, который большая сила образует с результирующей силой:
θ = tan^{— 1}(0,6) ≈ 31°
Результирующая имеет величину 29,2 и угол 31° с большей силой.

Пилоты могут корректировать направление их полёта, если есть боковой ветер. Ветер и скорость самолёта могут быть изображены как веторы.

Пример 3. Скорость самолёта и направление. Самолёт движется по азимуту 100° со скоростью 190 км/час, в то время как скорость ветра 48 км/ч, а его азимут — 220°. Найдите абсолютную скорость самолета и направление его движения с учетом ветра.

Решение Сначала сделаем рисунок. Ветер представлен и вектор скорости самолета есть . Результирующий вектор скорости есть v, сумма двух векторов. Угол θ между v и называется угол сноса.

Обратите внимание, что величина COA = 100° — 40° = 60°. Тогда величина CBA также равна 60° (противоположные углы параллклограмма равны). Так как сумма всех углов параллелограмма равна 360° и COB и OAB имеют одну и ту же величину, каждый должен быть 120°. По правилу косинусов

в OAB, мы имеем
|v|² = 48² + 190² — 2.48.190.cos120°
|v|² = 47,524
|v| = 218
Тогда, |v| равно 218 км/ч. Согласно правилу синусов, в том же самом треуголнике,
48/sinθ = 218/sin120°,
или
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Тогда, θ = 11°, к ближайшему целому углу. Абсолютная скорость равна 218 км/ч, и направление его движения с учетом ветра: 100° — 11°, или 89°.

Если нам задан вектор w, мы можем найти два других вектора u и v, сумма которых есть w. Векторы u и v называются компонентами w и процесс их нахождения называется

разложением, или представлением вектора его векторными компонентами.

Когда мы раскладываем вектор, обычно мы ищем перпендикулярные компоненты. Очень часто, однако, одна компонента будет параллельной оси x, и другая будет параллельна оси y. Поэтому, они часто называются горизонтальными и вертикальными компонентами вектора. На рисунке внизу вектор w = разложен как сумма u = и v = .

Горизонтальная компонента w есть u и вертикальная компонента — v.

Пример 4 Вектор w имеет величину 130 и наклон 40° относительно горизонтали. Разложите вектор на горизонтальные и вертикальные компоненты.

Решение Сначала мы нарисуем рисунок с горизонтальными и вертикальными векторами u и v, чья сумма есть w.

Из ABC, мы находим |u| и |v|, используя определения косинуса и синуса:
cos40° = |u|/130, или |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, или |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Тогда, горизонтальная компонента w есть 100 направо и вертикальная компонента w есть 84 вверх.

2.2. Геометрическое изображение вектора в R3. Линейные операции с векторами.

Геометрический смысл скалярного произведения

2.2. Геометрическое изображение вектора в R3. Линейные операции с векторами. Геометрический смысл скалярного произведения

Высшая математика > 2. Векторная алгебра > 2.2. Геометрическое изображение вектора в R3. Линейные операции с векторами. Геометрический смысл скалярного произведения

В пространстве векторная алгебра допускает наглядную геометрическую интерпретацию. В этом пространстве вектор изображается множеством направленных отрезков, имеющих длину, равную и одинаковое направление. Иначе говоря, вектор в изображается направленным отрезком, начало которого может располагаться в любой точке трехмерного Евклидова пространства.

Линейные операции над векторами

Сложение

Рис. 1

Вычитание

Рис. 2

Умножение на число

Рис. 3

Пример 1.
Найти , если и .
Решение.
, .
Ответ.
.

Геометрический смысл скалярного произведения

Рис. 4

По свойствам скалярного произведения:

С другой стороны, по теореме косинусов: .

Следовательно , где — угол между векторами и .

Пример 2.
Найти , если ; ; , , .
Решение.

Ответ.
.

Замечание
Следует заметить, что для скалярного произведения векторов выполняются те же законы, что и для алгебраических операций с многочленами. Из этого следует, что при скалярном умножении векторов справедливы формулы сокращенного умножения.

Пример 3.
Вычислить , если ; , , .
Решение.

Ответ.
13.

Из геометрического смысла скалярного произведения следует, что ортогональные векторы должны изображаться перпендикулярными направленными отрезками.
Рассмотрим стандартный ортонормированный базис , , и изобразим эти векторы единичными (длина которых равна 1), взаимно перпендикулярными отрезками с общим началом в некоторой точке .

Рис. 5

Векторы , , будем располагать так, чтобы с конца вращение от к происходило против часовой стрелки (рис.

5). Такой базис называется базисом правой ориентации.
Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке O, ось Ox сонаправим с вектором , ось Оу — с вектором , а ось Oz — с вектором . Тогда вектор изобразится направленным отрезком . При этом x, y, z — это проекции на координатные оси или координаты точки A в системе координат xyz (рис.6).

Рис. 6

Если вектор имеет начало в точке , а конец в точке , то , поскольку из рис. 7. видно, что .

Рис. 7

gif»>

Что такое векторные изображения? — ВекторСток

Опубликовано

22 июля 2013 г.

Категория

Файлы и форматы

Итак, что такое вектор?

Векторное изображение представляет собой графический файл формата . Изображение состоит из серии «Точек» с линиями, соединяющими эти точки. Используя этот метод двухточечной иллюстрации в программе векторного рисования, можно проиллюстрировать простые или сложные линейные геометрические и органические формы. Эти формы могут быть заполнены сплошными или градиентными цветами. Информация о координатах точек изображения и о том, как они связаны и окрашены, хранится в файле в виде математических данных.

Например, векторный квадрат с желтой рамкой представляет собой координаты четырех угловых точек квадрата в сочетании с данными его цвета и стиля линии.

Компьютер использует эти математические данные для визуализации векторного изображения, соединяя точки линиями, называемыми «Пути» или «Штрихи», а затем заливая фигуры цветом. С помощью программного обеспечения для векторной иллюстрации и комбинаций геометрических и органических форм, линий и цветов можно проиллюстрировать или нарисовать самые разные предметы.

Что такое формат векторного файла?

Стандартный формат файла W3C для векторного изображения — Scalable Vector Graphics ( SVG ), но чаще используются форматы Encapsulated PostScript ( EPS ) и Portable Document Format PDF (90) .

Собственный формат векторного изображения Adobe Adobe Illustrator ( Ai ) также широко используется.

Векторные изображения VectorStock доступны в форматах Vector EPS , PDF и Ai .

Узнать больше

Масштабируемая векторная графика — W3C
Инкапсулированный PostScript — Википедия
Portable Document Format — Adobe

Вектор против растрового изображения

Существует два основных типа цифровых изображений
на компьютерах;

Растровое (или растровое) изображение
Векторное изображение

Растровые / Растровые изображения

Файлы растровых изображений — это изображения, состоящие из крошечных цветных точек, называемых «пикселями». Компьютер хранит данные о каждом пикселе в файле изображения. Количество пикселей может очень быстро составить миллионы. Например, цифровая камера, делающая фотографии с разрешением 5 мегапикселей, создает изображения, каждое из которых содержит более 5 миллионов пикселей.

Растровые изображения больше всего подходят для фотографических изображений.

Векторные изображения

Векторные изображения не содержат пикселей. Они содержат точки, которые называются «точки». Но в отличие от растрового изображения квадрата, например, которое может содержать тысячи или миллионы отдельных пикселей для отображения изображения, вектор состоит всего из нескольких точек и линии, соединяющей точки для рисования формы.

Векторные изображения лучше всего подходят для иллюстрации.

Преимущества векторного изображения

Размеры файлов

Поскольку вектор представляет собой, по сути, список инструкций по отображению изображения, размер файла часто может быть меньше, чем у аналогичного изображения в растровой форме.

Масштабирование векторного изображения практически не влияет на размер файла. Однако изменение размера растрового изображения имеет значительный эффект, поскольку для соответствия новому размеру создаются или удаляются тысячи (а иногда и миллионы) пикселей.

Изменение размера

Возможность легко масштабировать векторные изображения до любого размера является большим преимуществом. Их размер можно изменять без потери качества изображения: изображения остаются идеально четкими при любом размере. Компьютер просто перерисовывает векторное изображение, используя математические данные в файле, до нового скорректированного масштаба.

При изменении размера растровых изображений пиксели теряются (при уменьшении масштаба) или дублируются (при увеличении), что приводит к «нечеткому» или «размытому» изображению более низкого качества.

Редактирование

С помощью приложений для редактирования векторной графики, таких как Adobe Illustrator, Corel Draw или Inkscape, файлы векторных изображений можно легко редактировать. Точки и пути отдельных объектов могут быть выбраны и изменены или удалены по мере необходимости. Цвета или заливки в изображении также можно легко выбирать и изменять.

Растровые изображения можно редактировать с помощью таких приложений, как Adobe Photoshop, но отдельные элементы изображения не всегда доступны для выбора.

Преобразование

Bitmap Vector

Растровые изображения можно преобразовать в векторные изображения с помощью таких инструментов, как «Живая трассировка» Adobe Illustrator, но этот процесс часто приводит к получению изображений низкого качества, поскольку программное обеспечение должно автоматически обводить все объекты в изображении.

Векторное растровое изображение

Преобразование векторного изображения в растровое называется «растрированием». Это простой процесс, который успешно выполняется большинством приложений для редактирования изображений.

Использование векторного изображения

Векторы обычно используются для определенных типов изображений, таких как:

Иллюстрации
Логотипы
Иконки
Инфографика
Карты
Шрифты

Векторы идеально подходят для печати, так как один и тот же векторный файл можно использовать для печати на небольшой открытке или гигантском рекламном щите, оставаясь при этом четким и четким в обоих случаях. Современные шрифты обычно хранятся с использованием векторной графики, что позволяет точно рисовать их любого размера.

Ниже представлено короткое видео с подробным описанием некоторых распространенных вариантов использования векторных изображений:

Имя программного обеспечения	Операционная система	Лицензирование
Adobe Illustrator	Windows, Mac	Коммерческий
CorelDRAW	Windows, Mac	Коммерческий
Inkscape	Windows, Mac, Linux	Открытый исходный код
Эскиз	Mac	Коммерческий
Xara Фото и графический дизайнер	Окна	Коммерческий

	Станд.	Расшир.
Печатный / редакционный
Графический дизайн
Веб-дизайн
Социальные сети
Редактировать и изменять
Многопользовательский
Предметы перепродажи
Печать по запросу

Оплата с	Цена изображения
Плата за изображение $ 14,99 Одноразовый платеж
Предоплаченные кредиты $ 1 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 доллар США). Минимальная покупка 30р.
План подписки От 69 центов Выберите месячный план. Неиспользованные загрузки автоматически переносятся на следующий месяц.

Оплата с	Стоимость изображения
Плата за изображение $ 39,99 Оплата разовая, регистрация не требуется.
Предоплаченные кредиты $ 30 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 доллар США).

Векторы, графическое изображение векторов, величина вектора, направление вектора

2.2. Геометрическое изображение вектора в R3. Линейные операции с векторами.

Что такое векторные изображения? — ВекторСток

Опубликовано

Категория

Итак, что такое вектор?

Что такое формат векторного файла?

Узнать больше

Вектор против растрового изображения

Растровые / Растровые изображения

Векторные изображения

Преимущества векторного изображения

Размеры файлов

Изменение размера

Редактирование

Преобразование

Bitmap Vector

Векторное растровое изображение

Использование векторного изображения

Программное обеспечение

Примеры из повседневной жизни

Кролик Роялти бесплатно векторное изображение

ЛицензияПодробнее

Владение Узнать больше

Способы покупкиСравнить

Способы покупкиСравнить

Оплата

Дополнительные услугиПодробнее

Примеры

Включенные файлы

Добавить комментарий Отменить ответ