Вектор построить онлайн: Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Векторное Произведение Векторов. Свойства, определение

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

169.6K

«Право руля!» и «Держим вектор правее» — звучит по-разному, а смысл один: направление движения судна. В этой статье продолжим двигаться по волнам геометрии и изучим новую тему — векторное произведение векторов.

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Еще не устали от теории? Онлайн-школа Skysmart предлагает обучение на курсах по математике — много практики и поддержка внимательных преподавателей!

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

• он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
• он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
  
• длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
  
• тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

• 
  
• 
  

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c.

Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

, где

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

1. Антикоммутативность
   
2. Свойство дистрибутивности
   

   или

   
   
3. Сочетательное свойство
   

   или

   
   

   , где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению

и

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

 

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

Как решаем:

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Ответ:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

Как решаем:

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Ответ:

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Как решаем:

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Ответ:

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

261.1K

Теорема косинусов и синусов

К следующей статье

449.3K

Длина окружности

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Как найти угол между векторами? Ответ на webmath.

{\circ}$

Читать дальше: как найти косинус угла между векторами.

Публикация размещенных слоев векторных листов из файлов—ArcGIS Online Help

В начало

В этом разделе

1. Создание и публикация пакета векторных листов
2. Определение карты в ArcGIS Pro и публикация ее как слоя векторных листов

Слои векторных листов ссылаются на набор кэшированных векторов и информацию для рендеринга векторов. Данные в слоях векторных листов хранятся в отдельных слоях, содержащих геометрию, атрибуты и стили. Информация о стиле хранится отдельно от геометрии и атрибутов плитки, и можно определить более одного стиля. Это означает, что к одному набору векторных листов можно применить различные стили без создания нового кэша для каждого стиля. Это экономит место и ускоряет процесс создания стилей карты. Доступ к векторам как к отдельным слоям листов также повышает производительность.

Вы можете опубликовать слой векторных листов из размещенного векторного слоя или использовать один из следующих методов для публикации слоя векторных листов:

• Создайте пакет векторных листов в ArcGIS Pro. Вы можете опубликовать пакет векторных листов в ArcGIS Pro или добавить пакет в ArcGIS Online и опубликовать.
• Опубликуйте слой векторных листов из карты ArcGIS Pro в своей организации.

При публикации из пакета векторных листов файл пакета векторных листов добавляется как элемент содержимого. Если вы публикуете из ArcGIS Pro и не включаете связанный векторный слой, файл пакета векторных листов также добавляется в качестве элемента в ваши ресурсы. Как только вы подтвердите, что слой векторных листов работает, вы можете удалить пакет векторных листов из ArcGIS Online, чтобы сэкономить место в хранилище, но только если вы уверены, что вам больше не нужен пакет векторных листов.

Создание и публикация пакета векторных листов

Вы можете использовать ArcGIS Pro 1.2 или более позднюю версию для создания векторных листов для карты и сохранения их в легко переносимом файле пакета векторных листов (.vtpk). Вы можете опубликовать пакет векторных листов из ArcGIS Pro в своей организации и опубликовать загруженный пакет векторных листов в качестве слоя листов.

Информацию о создании векторных листов и пакете векторных листов см. на следующих страницах справки ArcGIS Pro:

• Создание карты для создания векторных листов
• Создать пакет векторных листов

Вы можете опубликовать пакет векторных листов в ArcGIS Pro или ArcGIS Online.

Публикация из пакета векторных листов в ArcGIS Pro

Вы можете запустить инструмент геообработки Общий доступ к пакету в ArcGIS Pro, чтобы добавить пакет векторных листов в свою организацию и опубликовать размещенный слой векторных листов. Дополнительную информацию см. в разделе Публикация слоя векторных листов.

Публикация из пакета векторных листов в ArcGIS Online

В качестве альтернативы вы можете добавить пакет векторных листов в ArcGIS Online и опубликовать его.

1. Войдите в ArcGIS Online, используя свою учетную запись организации, и откройте Ресурсы > Мои ресурсы.

   У вас должны быть права на создание содержимого и публикацию размещенных слоев листов.

2. Щелкните Новый элемент > Ваше устройство.
3. Перейдите к расположению файла пакета векторных листов (.vtpk).
4. Выберите Добавить пакет векторных листов и создайте размещенный слой векторных листов.
5. Введите заголовок и теги, которые будут применены к пакету и размещенному слою.
6. Если ваша организация настроила категории контента, нажмите Назначить категории и выберите до 20 категорий, чтобы помочь людям найти элемент.

   Вы также можете начать вводить название категории, чтобы сузить список категорий.

7. Нажмите Сохранить.

Векторные листы распакованы, и размещенный слой листов опубликован. Элементы создаются в Моих ресурсах для пакета и размещенного слоя листов.

Для просмотра данных добавьте слой листов в Map Viewer, Map Viewer Classic или Scene Viewer.

Определите карту в ArcGIS Pro и опубликуйте ее как слой векторных листов

Начиная с ArcGIS Pro 1.4, вы можете опубликовать слой векторных листов из карты для размещения в ArcGIS Online. Для выполнения этих действий требуется подключение к Интернету. Скорость и пропускная способность вашего соединения влияют на скорость публикации.

Инструкции по созданию векторного листа и его публикации см. на следующих страницах справки ArcGIS Pro:

• Создание карты для создания векторного листа
• Общий доступ к слою векторных листов
• Настройка слоя векторных листов

---

Отзыв по этой теме?

В этом разделе

1. Создание и публикация пакета векторных листов
2. Определить карту в ArcGIS Pro и опубликовать ее как слой векторных листов

Здание интернет-магазина Royalty Free Vector Image

Здание интернет-магазина Royalty Free Vector Image

org/BreadcrumbList»>
1. лицензионные векторы
2. Магазин векторов

ЛицензияПодробнее

Стандарт Вы можете использовать вектор в личных и коммерческих целях. Расширенный Вы можете использовать вектор на предметах для перепродажи и печати по требованию.

Тип лицензии определяет, как вы можете использовать этот образ.

	Станд.	Расч.
Печатный/редакционный
Графический дизайн
Веб-дизайн
Социальные сети
Редактировать и изменять
Многопользовательский
Предметы перепродажи
Печать по требованию

Владение Узнать больше

Эксклюзивный Если вы хотите купить исключительно этот вектор, отправьте художнику запрос ниже:

Хотите, чтобы это векторное изображение было только у вас? Эксклюзивный выкуп обеспечивает все права этого вектора.

Мы удалим этот вектор из нашей библиотеки, а художник прекратит продажу работ.

Способы покупкиСравнить

Плата за изображение $ 14,99 Кредиты $ 1,00 Подписка $ 0,69

Оплатить стандартные лицензии можно тремя способами. Цены составляют долларов США долларов США.

Оплата с помощью	Цена изображения
Плата за изображение $ 14,99 Одноразовый платеж
Предоплаченные кредиты $ 1 Загружайте изображения по запросу (1 кредит = 1 доллар США). Минимальная покупка 30р.
План подписки От 69 центов Выберите месячный план. Неиспользованные загрузки автоматически переносятся на следующий месяц.

Способы покупкиСравнить

Плата за изображение $ 39,99 Кредиты $ 30,00

Существует два способа оплаты расширенных лицензий.