Картинки иллюзии математические: Творческий проект на тему «Оптические иллюзии в математике»

Творческий проект на тему «Оптические иллюзии в математике»

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Основная общеобразовательная школа №1»

 

 

 

 

 

 

 

Научно – практическая конференция исследовательских работ учащихся

«Шаг в науку»

 

 

 

Номинация: математика, физика, информатика

 

Тема: «Оптические иллюзии в математике»

 

Гунько Полина Владиславовна

Класс 5 А

МБОУ ООШ №1

 

Руководитель проекта:

Березикова Антонина Григорьевна,

Учитель математики

МБОУ ООШ №1

 

 

 

г.

Таштагол, 2017

Оглавление

Введение. 4

Глава 1. 5

2.1 Иллюзии. 5

2.2 Виды оптических иллюзий. 6

2.3 Оптические иллюзии. 6

2.4 Стереокартинки. 6

2.5 Цветовые иллюзии. 7

2.6 Перевёртыши. 8

2.7 Неоднозначное восприятие образа. 8

2.8 Восприятие размера. 9

2.9 Искажение линий. 10

2.10 Невозможные конструкции. 10

Глава 2. 12

1.1 Где используются оптические иллюзии. 12

1.2 Оптические иллюзии в архитектуре. 12

1.3 Оптические иллюзии в изобразительном искусстве. 13

Экспериментальная работа. 13

Заключение. 14

Список литературы и интернер-ресурсы.. 15

 

 

Актуальность работы:

Как – то мама купила мне детский журнал «Непоседа», где на последней странице была стереокартинка. Лишь при длительном просмотре иллюстрации стало ясно, что на ней изображён чайник. Я заинтересовалась подобными стереокартинками и выяснила, что это —   иллюзия. Оказалось, что мои одноклассники тоже знакомы с этим термином, но объяснить причины возникновения иллюзии они не могут. Актуальность исследования в том, что иллюзия – игра зрения. Часто то, что мы видим обманчиво, и многое оказывается совсем не тем, чем кажется на первый взгляд.  Так что же   такое иллюзии? Можно ли сделать иллюзии самим? Где встречаются иллюзии?

Объект исследования: иллюзии.

Предмет исследования: оптические иллюзии.

 Проблема: можно ли создать иллюзии самим?

 Гипотеза: все люди воспринимают иллюзии одинаково.

Методы исследования: наблюдение,

поисковый метод,

опрос одноклассников и старшеклассников.

Разработанность проблемы: https://ru.wikipedia.org/wiki/

http://rosdesign.com/design/iluzofdesign.htm

 

 

Иллюзия (лат. illusio —заблуждение, обман), это:

• Обман чувств, нечто кажущееся, то есть искажённое восприятие реально существующего объекта, допускающее неоднозначную интерпретацию;

• В переносном смысле как нечто несбыточное, мечта.

Давайте ответим на вопрос: Что такое обман зрения? Скорее всего, вы ответите на этот вопрос так: обман зрения -это видение того, чего на самом деле нет. Создаёт этот обман зрения природа. Подтвердить это можно такими примерами: подводный водопад острова Маврикий. В Индийском океане можно наблюдать необычную природную аномалию — иллюзию подводного водопада, песчаные отложения, простирающиеся вдоль побережья, своей причудливой формой создают ‎под водной гладью иллюзию огромной трещины с устремленными в нее потоками водопада. Или, например, мираж в пустыне. Да, эти ответы правильные, но не совсем полные.

(Приложение1) еще примеры иллюзий в природе

 На самом деле не только природа создает обман зрения. Иллюзии может создавать человек. В этом можно убедиться на примере картинки. Внимательно посмотрев на середину картинки, вы увидите, как круги вращаются. Это — ОБМАН ЗРЕНИЯ. И еще. Кривые линии этой фигуры кажутся спиралью, между тем это окружности, в чем легко убедиться, водя вдоль них заостренной палочкой.                        И так, не только природа создает иллюзии, но и человек.

Иллюзий очень много, но я остановлюсь на некоторых из них и попробую их объяснить. (Приложение 2)

 

Есть много оптических иллюзий. Наиболее известные иллюзии:

·        Стереокартинки

·        Цветовые иллюзии

·        Перевёртыши

·        Неоднозначное восприятие образа

·        Восприятие размера

·        Искажение линий

·        Невозможные конструкции

 

2.3 Оптические иллюзии

Оптические иллюзии очень необычны, интересны, а некоторые из них имеют полезные свойства, например, стереокартинки.

 

Стереокартинки представляют собой интереснейшее явление. Они хороши для тренировки глаз, поэтому их часто публиковали на обложках школьных тетрадей. К сожалению, кто-то за все школьные годы так и не увидел ни одного объемного изображения. (Приложение3)

Чтобы увидеть стереокартинку, отодвиньте ее на расстояние полувытянутой руки. Расслабьте взгляд и посмотрите сквозь картинку, как будто она прозрачная или её вообще нет. Вначале ваши глаза будут неосознанно переключаться на картинку, но это естественно – вы тренировали их этому всю жизнь.Спустя некоторое время – от нескольких секунд до пары минут – должно появиться объёмное изображение. Со временем у вас будет получаться легче, и картинка будет чёткой. Не забывайте, при просмотре стереокартинки не нужно напрягать зрение.

Всего 1% людей не может увидеть скрытое объемное изображение.

 

  Попробуйте назвать цвета слов быстро и без запинки? Это не так — то оказалось легко.  Это тоже иллюзия цветового зрения.

 

 

Два квадрата кажутся разного цвета, но если положить палец между ними, то видно, что цвет одинаковый.

Цвет предмета оставляет свой временный след в наших глазах, как отпечаток на горячем воске. (Приложение4)

 

Перевертыш — одна из самых красивых и забавных оптических иллюзий.

Перевёртыш — вид оптической иллюзии, в которой от направления взгляда зависит характер воспринимаемого объекта иллюзий. На первой картинке можно увидеть девушку, а если картинку перевернуть, то — старую женщину. На второй картинке сначала виден мужчина, но если картинку перевернуть то можно увидеть женщину. (Приложение5)

 

2.7 Неоднозначное восприятие образа

 Давайте посмотрим на следующую картинку. Что вы видите? Даже если вы сами не можете поначалу увидеть и утку, и кролика, не стоит расстраиваться.  В какой-то момент все могут увидеть утку-кролика, но есть одна вещь, на которую не способен никто: как бы вы ни старались, вы не сможете увидеть и утку, и кролика одновременно. Это одна из самых известных оптических иллюзий всех времен!

 Что вы видите с первого взгляда – старую женщину или молодую девушку? Они обе там! (Приложение6)

 

Взгляните на рисунок. Какой отрезок, по – вашему, длиннее? Первый или второй? На первый взгляд, кажется, что длиннее первый, хотя на самом дела оба отрезка равны. Убедиться в этом можно, только измерив отрезки. Здесь иллюзия создаётся при наличии дополнительных элементов (стрелок). 

На первый взгляд, дальний отрезок кажется больше, хотя на самом деле они равны.

 Иллюзия создаётся из – за ошибки нашего мозга, так как он привык, чем дальше предмет, тем он больше. Восприятие размера иллюзии часто приводят к совершенно неверным количественным оценкам реальных геометрических величин. Оказывается, что можно ошибиться на 25 % и больше, если глазомерные оценки не проверить линейкой. Глазомерные оценки геометрических реальных величин очень сильно зависят от характера фона изображения. Это относится к длинам (иллюзия Понцо), площадям, радиусам кривизны.

(Приложение7)

 

 На этой картинке иллюзия Геринга — оптическая иллюзия, обнаруженная немецким физиологом Карлом Герингом в 1861 году. Две вертикальные линии на рисунке прямые, но они выглядят отклоняющимися наружу. Искажения создаются за счёт фона, который создает ложное впечатление глубины.

Иллюзия пропадает, если, подняв фигуру на уровне глаз, смотреть на нее так, чтобы взгляд скользил вдоль линии.

 

2.10 Невозможные конструкции

Невозможные фигуры выделяют в отдельный класс оптических иллюзий. Невозможные фигуры — особый вид объектов в изобразительном искусстве. Как правило их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире. Драконы, эльфы, гномы также не могут существовать в реальном мире, но они не являются невозможными фигурами.

 

Более точно невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые производят впечатление обычной проекции объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры.

 

Таким образом, на изображении ниже мы видим лишь одну невозможную фигуру — невозможный треугольник. (Приложение8)

 

 

 

 

 

 

 

 

Оптическая иллюзия используется в изобразительном и цирковом искусстве, в кинематографии, в телевидении, в полиграфии, в военном деле и в архитектуре.

 

Один из способов создать необычное строение, сложный рисунок, нестандартный архитектурный объект — применить знания в области законов оптики и перспективы. Архитекторы давно научились обманывать нас с помощью оптических иллюзий.

Компания «Lego» попыталась воспроизвести один из рисунков Эшера, построив «невозможное здание» из собственного конструктора.

Ещё один пример иллюзии — «Дом ведьмы» в Одессе. «Изюминка» дома-стены кроется в его особенной конструкции. Он возводился еще во времена царской России. В процессе строительства обнаружилась нехватка средств. И чтобы не останавливать возведение, архитектором было применено очень нестандартное решение. Здание имеет треугольную форму. Чтобы сэкономить на задней стене, конструкторы свели две боковые стены. В итоге, если смотреть на строение под определенным ракурсом, кажется, что боковой стены у него вообще нет. Такая иллюзия привлекает множество туристов, которые хотят посмотреть и сфотографировать уникальный дом. (Приложение9)

 

Человечество ищет все новые и новые способы расширить многогранный мир иллюзий и наше представление о нем. Прямое тому подтверждение — это 3D рисунки на асфальте.  Искусство, привлекающее все больше творческих людей. Предлагаю посмотреть подборку   3D рисунков на асфальте. (Приложение10)     

 

По мере знакомства с иллюзиями, я задалась вопросом: все ли видят иллюзии одинаково? Я провела опрос в 5 классе, где я учусь, и в 9 классе, предложив иллюзии неоднозначного восприятия образа, восприятие размера, иллюзия движения.

Вид иллюзии	5а		9а
	Кто видит девушку		Кто видит старую женщину
Неоднозначного восприятия образа	9	8	10	9
Восприятие размера	Видит, что отрезки равны	Не видит, что отрезки равны	Видит, что отрезки равны	Видит, что отрезки равны
	12	1	14	5
Иллюзия движения	13	0	19	0

(Приложение11)

 Сравнив результаты, я сделала вывод, что иллюзии воспринимаются людьми по-разному и восприятие иллюзий не зависит от возраста.  Также я создала свою зеркальную иллюзию. Поставив учебник около зеркала, я поставила напротив другое зеркало так, что в одном зеркале множество раз появилось отражение учебника как бы в зеркальном коридоре. Оказалось, что создавать иллюзии — очень увлекательное занятие.

 

      Наше зрение несовершенно, и иногда мы видим не то, что существует в действительности. Разные люди в процессе зрительного восприятия обладают различной способностью ошибаться, иногда видят в предметах то, чего другие не замечают. Это говорит о субъективности наших зрительных ощущений и об их относительности.

 

 

 

 https://ru.wikipedia.org/wiki/

http://rosdesign.com/design/iluzofdesign.htm

https://www.google.ru/search

 

Приложения1

    

 

Приложение2

 

  

 

Приложение3

 

 Приложение4

 

Приложение5

 

Приложение6

 

 

Приложение7

 

Приложение8

Приложение9

 

 

Приложение10

Геометрические иллюзии

 

Содержание

Вступление

Оптические иллюзии

1. Что такое оптические иллюзии?
2. Как возникают оптические иллюзии?
3. Виды оптических иллюзий

 Геометрические иллюзии

1. Иллюзии размера
2. Иллюзии параллельности
3. Иллюзии формы

Мои иллюзии

Заключение

Источники информации

Приложение 1: виды оптических иллюзий

Приложение 2: примеры геометрических иллюзий

Приложение 3: применение геометрических иллюзий

 

1. Вступление

В окружающим нас мире мы можем наблюдать такое явление, как иллюзии. Так, например, в одном из павильонов на ВВЦ есть музей иллюзий, иллюзии можно наблюдать в рекламе, они часто встречаются в интернете. В этом году я начала изучение геометрии. А можно ли встретить иллюзии в геометрии? Я думаю, если на уроках геометрии для изучения геометрических понятий использовать иллюзии, то это повысит интерес школьников к изучаемому предмету.

Таким образом, целью моей работы является выявление особых геометрических иллюзий и создание собственных образцов таких  иллюзий:

Задачи:

— изучить литературных и интернет-источники по вопросам , связанным с иллюзиями, видами иллюзий , причинами их возникновения;

— отдельно выделить группу геометрических иллюзии;

— выявить принципы построения геометрических иллюзий;

— на основе выявленных принципов создать собственные образцы геометрических иллюзий;

— проверить успешность созданных образцов геометрических иллюзий.

Считаю, что из общей массы различных иллюзий можно выделить особую группу геометрических иллюзий  и создать свои образцы таких геометрических иллюзий – это составляет гипотезу моего исследования.

В своем исследовании я использовала следующие методы:

— изучение и обработка различных источников информации;

— сравнение, анализ, аналогия;

— практическая работа;

— социологический опрос.

 

1. Оптические иллюзии

Что такое оптические иллюзии?

                                              

Изучая различные источники информации, я узнала, что человеческий организм – сложнейшая саморегулирующая система. Наши органы чувств передают информацию об окружающем мире и изменениях вокруг, позволяя организму запоминать и по-своему интерпретировать результаты. Но иногда даже совершенная система может давать сбой и ошибаться. Иногда это происходит со зрительным анализатором,  и тогда возникают оптические иллюзии, которые с давних времен  заставляли человечество удивляться.

                                        

 

 

    На иллюстрации выше показана схема зрительного восприятия. На пути к сетчатке лучи света проходят через несколько прозрачных сред: роговицу, хрусталик и стекловидное тело. На сетчатке получается изображение, резко уменьшенное и перевернутое вверх ногами и справа налево. Дальше информация идёт в мозг, который интерпретирует её, и мы видим данный субъект.

            Оптические или зрительные иллюзии – это явление, при котором мы видим совершенно иное, чем оно есть на самом деле. Одни из существующих иллюзий давно научно объяснены и подтверждены практическим путем, другие также непонятны.

     2. Как возникают оптические иллюзии?

Основные причины возникновения оптических иллюзий:

1) В мозг приходит неправильная информация, из-за ошибочного восприятия глазами света от предмета.

2) Нарушения работы нервов во время передачи информации.

3) Мозг неправильно анализирует информацию.

Т.е. иллюзии это следствие неверной, специфической работы нашего организма.

3. Виды оптических иллюзий:

Все оптические иллюзии в зависимости от их происхождения можно разделить  на 3 вида:

1)     Естественные (созданные природой). Например, мираж.

2)       Искусственные (придуманные человеком). Этот вид  часто используют фокусники-иллюзионисты. Такие иллюзии имеют конструктивный секрет и объясненный механизм возникновения и действия.

3)       Смешанные (естественные иллюзии, которые воссоздал человек) – это и модель миража, и иллюзионные картинки.

В зависимости от восприятия можно выделить следующие виды:

1. Иллюзии движения. Изображенные на картинках фигуры при просмотре начинают двигаться или пульсировать, хотя на самом деле недвижимы.
2. Зрительные искажения. Буквы, фигуры или линии в изображениях на самом деле расположены по-другому относительно друг друга.
3. Иллюзия искажения размера. Одинаковые по размеру фигуры или предметы кажутся различными.
4. Иллюзии цвета и контраста. Количество используемых для изображения цветов и оттенков кажется большим, чем есть на самом деле; нарушается цветовое восприятие объекта.
5. Невозможные фигуры. Изображение нереальных фигур, которые не могут быть воспроизведены в трехмерном пространстве. Невозможные фигуры сначала кажутся обыкновенными фигурами, но при детальном рассмотрении становится понятно, что в них скрыто множество противоречивых элементов.

Примеры различных видов оптических иллюзий смотрите в приложении 1.

  Геометрические иллюзии

Геометрия — это наука, занимающаяся изучением формы предметов, определяющая их размеры и взаимное расположение. Поэтому из всех оптических иллюзий я выделила геометрические, то есть те,  которые связаны с изображением геометрических фигур на плоскости – это иллюзии размера, формы и параллельности.

1. Иллюзия размера

Какой из внутренних квадратов больше? Черный или белый?

                                                                                     

На самом деле они одинаковые.

Эта иллюзия основана на явлении иррадиации.   Явление иррадиации состоит в том, что светлые предметы на темном фоне кажутся больше,  чем на самом деле, они как бы захватывают часть темного фона. Когда мы рассматриваем светлую поверхность на темном фоне, вследствие несовершенства хрусталика, как бы раздвигаются границы этой поверхности, и эта поверхность кажется нам больше своих истинных геометрических размеров. На рисунке за счет яркости цветов белый квадрат кажется значительно большим относительно черного квадрата на белом фоне.

 Любопытно отметить, что зная о данном свойстве черного цвета скрадывать размеры, дуэлянты в XIX веке предпочитали стреляться именно в черных костюмах в надежде на то, что противник промахнется при стрельбе.

Вот несколько примеров иллюзии размера.

а) Иллюзия Болдуина

Какая линия больше А или Б?

                                                                   

Они абсолютно равны, хотя линия Б кажется гораздо длиннее.

 б) Иллюзия Мюллера-Лайера (Franz Muller-Lyer, 1889)

(перенесение свойств целой фигуры на ее отдельные части)

 Какой из горизонтальных отрезков длиннее?

                                                              

Они все равны.

Другие примеры иллюзии размеров смотрите в приложении 2.

Вывод:

Рассмотрев разные варианты геометрических иллюзий размера, я выделила несколько принципов их построения:

1. Влияние фона или окружения объекта.

Если вокруг объекта разместить объекты большего размера, то первый объект будет казаться меньше. Если добавляемые объекты будут меньше по размеру от исходного, то он станет визуально больше.

                                                            

2. Применение опыта из повседневной жизни.

В обычной жизни мы привыкли к определённым свойствам различных объектов. Так например, при удалении предмета, он кажется все меньше и меньше. Поэтому художники, создавая свои картины используют перспективу для более реалистичного изображения предметов. А вот иллюзии, воспроизводящие перспективу, искажают реальные размеры фигур.

                                                                          

3. Использование явления иррадиации.

О нём мы уже знаем. Просто помещаем светлые фигуры на тёмный фон, а тёмные на светлый. Иллюзия готова.

                                                             

4. Перенесение свойств целой фигуры на ее отдельные части.

Если объекты, которые нужно преобразовать в иллюзию, сделать частью другой фигуры, то они могут перенять её свойства.

Параллелограмм Зандера (1926): Какой отрезок длиннее AB или BC?

                                                             

На самом деле, отрезки AB и BC равны.

5. Расположение предметов.

Узкие фигуры в вертикальном положении кажутся больше, чем в горизонтальном. 

                                                                                      

 

2. Иллюзии параллельности.

Параллельные прямые — это две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости.

Иллюзии данного вида искажают параллельность. Прямые кажутся нам не параллельными, а вогнутыми или выпуклыми кривыми.

 

а) Иллюзия Геринга (иллюзия веера)

                                                                       

 Прямые, на самом деле, параллельны.

 б) Иллюзия Вундта (1896)

                                                                                

Линии в центре, в действительности, параллельны.

 

г) Иллюзия Цолльнера (Zolliner, 1860).

                                                                        

 Параллельные прямые кажутся изогнутыми.

Другие примеры иллюзии параллельности смотрите в приложении 2.

Вывод:

Рассмотрев разные варианты геометрических иллюзий параллельности, я выделила несколько принципов их построения:

1. Влияние фона или окружения.

а) Острые углы, помещённые между двумя параллельными прямыми, визуально делают их выпуклыми; тупые углы — вогнутыми.

                                                                 

б) Перечёркнутые наклонными штрихами, часто и в разные стороны, параллельные линии перерастают нами восприниматься, как параллельные, кажется, что они могут пересечься.

                                                              

в) Перенос свойств целой фигуры на ее отдельные части.

                                                                                                  

В данной иллюзии центральные части ломаных линий параллельны. Однако из-за их расположения, визуально они кажутся пересекающимися, если их продлить.

3. 3. Иллюзии формы

Под этими иллюзиями я понимаю невозможные фигуры или импоссибилизм. Этот термин был введен в обращение Тедди Бруниусом, профессором искусствоведения Копенгагенского университета. Импоссибилизм, это изображение предметов, которые кажутся реальными, но не могут существовать в физической реальности.

Основоположником «невозможных фигур» по праву считается швед Оскар Рутервард. Родился он в 1915 году в Стокгольме. В 1934 году создал первую невозможную фигуру — невозможный треугольник, составленный из набора кубиков. За годы своего творчества он создал более 2500 невозможных фигур. Все они выполнены в японской (параллельной) перспективе.

 Его первая невозможная фигура появилась случайно, когда он в 1934 г. в последнем классе гимназии на уроке «чиркал» в учебнике латинской грамматики, рисуя в нем геометрические фигуры. Это был псевдотреугольник, который получил у математиков называние треугольника Рутерсварда.

а) Треугольник Рутерсварда.

б) Независимо от Рутерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована «ложная перспектива».

                                                      

Треугольник Пенроуза

 

в) А вот еще невероятная невозможная лестница Пенроуза

                                                                                   

 Если вы пойдете по ней по часовой стрелке, то будете все время спускаться, а если против часовой стрелки, то будете всегда подниматься…

Другие примеры иллюзий формы смотрите в приложении 2.

Вывод:

Рассмотрев разные варианты невозможных фигур, я выделила несколько принципов их построения:

 

1. Составление крупной фигуры из фигур меньшего размера.

При соединении маленьких фигур в большую легко допустить «ошибку» и создать невозможную фигуру.

                                                            

2. Невозможные соединения.

Вся фигура может стать невозможной из-за одного неверного соединения её частей.

                                                                                

3. Переход из части фигуры в пространство.

Часть невозможной фигуры может очень плавно перейти в пространство.

                                                                               

1. Мои иллюзии

На основе выделенных принципов построения иллюзий, я создала свои.

1. Иллюзия размера прямоугольников.

Эта иллюзия создана по принципу «влияние фона или окружения объекта». Прямоугольник, окружённый маленькими чёрточками кажется меньше, чем тот, который окружают чёрточки большего размера. На самом деле они равны.

                                                   

2. Иллюзия размера шаров.

Благодаря перспективе, игре света и тени, расположению шаров создаётся впечатление что один из них больше, а другой меньше, но на самом деле они равны.

 

3. Иллюзия параллельности.

Эта иллюзия создана по принципу «перенос свойств всей фигуры на её отдельные части». Листья сужающиеся к верху, создают ощущение, что прямые тоже сужаются, но они параллельны.

                                                    

4. Невозможная призма.

Данная призма является невозможной фигурой. Её нельзя воспроизвести в трёхмерном пространстве, т.к. видимые её линии плавно переходят в невидимые.

Чтобы понять, удачно ли составлены мои иллюзии, я провела опрос учеников 5-7 классов своей гимназии и получила, что:

1. Иллюзия размера прямоугольников.

Прямоугольники разного размера для 16 человек и одинакового для 10. Считаю, что иллюзия получилась.  Достаточно большое количество голосов,  поданных за одинаковый размер, говорит о том, что опрашиваемые понимают, что имеют дело с иллюзиями, и на самом деле прямоугольники одинакового размера.

2. Иллюзия размера шаров.

Шары разного размера для 24 человек и одинакового для 17 человек. Считаю, что иллюзия получилась.

3. Иллюзия параллельности.

Прямые параллельны для 5 человек и не параллельны для 18 человек. Считаю, что эта лучшая из получившихся иллюзий.

4. Невозможная призма.

Призма возможна для 11 человек и не возможна для 12 человек.

Считаю, что эта иллюзия не ориентирована на данную аудиторию. У учеников 5-7классов возникали вопросы по поводу пунктирных линий.

 

1. Заключение

Моя гипотеза подтвердилась. Я выделила отдельную группу геометрических иллюзий, которая разделилась ещё на иллюзии размера, параллельности и формы. Из каждой подгруппы я выделила принципы построения  иллюзий, и теперь могу сделать вывод, что в основном причинами образования геометрических иллюзий являются: объекты, расположенные рядом; положение самого объекта рядом с другими; состав объекта. С помощь выше перечисленных способов образования иллюзия я создала свои, успешность которых была проверена опросом школьников.

1. VI. Источники информации
2. Джанни А. Сарконе, Мари-Джо Ваэбер «Рисуем оптические иллюзии», М., АРТ-РОДНИК, 2013, с. 128
3. С. Толанский «Оптические иллюзи», М., Мир, 1967, с. 128
4. http://www.optical-illusions.ru
5. http://www.pressmaket.ru/illuzii.html
6. http://www.psy.msu.ru/illusion/size.html
7. http://www.diagram.com.ua/illusions/2.shtml
8. http://obychnogo.net/opticheskie-illyuzii-zritelnye-iskazheniya
9. http://im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
10. http://art-science-world.diary.ru/p174185185.htm?oam
11. http://ppt4web.ru/geometrija/mir-nevozmozhnykh-figur.html

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Виды оптических иллюзий:

1. Иллюзии движения.

• Изображенные на картинках фигуры при просмотре начинают двигаться или пульсировать, хотя на самом деле недвижимы.

                                                                      

• Эти красные круги на малиновом фоне интенсивно пульсируют, напоминая минивзрывы.

                                                                      

• Смотрите в центр изображенной фигуры и замечайте пульсирование и движение. Иллюзия усилиться, если двигать головой влево-вправо.

                                                                         

2. Зрительные искажения.

• Буквы в изобрааженном слове на самом деле параллельны друг другу.

                                                                   

• И горизонтальные линии на следующем рисунке также параллельны между собой.

                                                                        

• В центре рисунка изображены квадраты, а не фигуры с неровными сторонами. А еще мы можем увидеть несуществующие пульсирующие квадраты по всему полю рисунка.

                                                                          

3. Иллюзия искажения размера.

• Кто выше карлик на переднем плане или человек на заднем? Человек на заднем плане и карлик на переднем — одного роста.

                                                                           

• Какая линия длиннее AC или AB? AC и AB равны.

                                                                           

• Посмотрите на цифры «3» и»8″. Верхняя половина каждой цифры равна нижней, не правда ли?

                                                           

А теперь перевернем эти цифры.

                                                            

Разница в размере верхних и нижних половин становится     очевидной.

4. Иллюзии цвета и контраста.

• Посчитайте, сколько оттенков, кроме белого, присутствует на картинке? А их оказывается только два – красный и зеленый!

                                                                      

• А здесь спирали какого цвета вы видите? А голубых-то и нет на самом деле. Только зеленые!

                                                                      

5. Невозможные фигуры

                                                                      

Невозможные фигуры сначала кажутся обыкновенными фигурами, но при детальном рассмотрении становится понятно, что в них скрыто множество противоречивых элементов. Эти фигуры не могут быть воспроизведении в трёхмерном пространстве.

                                                                       

ПРИЛОЖЕНИЕ 2: Геометрические иллюзии

1. Иллюзии размера.

а) Иллюзия Ястрова (Jastrow, 1891).

Какая из фигур больше?

                                                                          

Они абсолютно одинаковые.

 б) Иллюзия железнодорожных пулей (Mario Ponzo, 1913).

                                                                                                  

Верхняя горизонтальная линия кажется длиннее.

Эта линия продолжает восприниматься как более длинная, в каком бы положении мы ни рассматривали рисунок. Попробуйте повернуть голову на 90 градусов.

в) Иллюзия кинескопа.

Какая из красных линий длиннее?

                                                                               

 Красные линии на рисунке одной длины.

г) Квадратура круга.

                                                                               

Левая окружность кажется больше правой.

 д) Иллюзия перспективы.

 Какой из параллелепипедов больше?

                                                                                      

Они равны.

2.Иллюзии параллельности.

а) Иллюзия Поггендорфа (Poggendorf, 1860)

                                                                                         

На одной прямой лежат линии BC, а не AC, как кажется.

 б) Иллюзия с витыми веревками (James Frazer, 1908).

Это прямые или нет?

                                                                                     

Это параллельные прямые.

 в) Иллюзия Липпса

                                                                                                

Центральные части линий параллельны друг другу.

 

 г) Иллюзия У. Эренштейна (W. Ehrenstein, 1921)

                                                                            

 Квадрат кажется искаженным.

 

д) Синие квадраты кажутся нарисованными неровно

                                                                  

е) Все квадраты не самом деле не искажены.

                                                             

 ж) Узор как бы выступает вперед?

                                                           

На рисунке все квадраты не искажены.

 

з) На данном рисунке все прямые параллельны.

                                                               

3. Иллюзии формы.

а) Впервые эта иллюзия была опубликована в журнале «Mad» в 1965 году (художник Норман Минго).

                                                                              

б) Невозможный куб Эшера.

                                                                     

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Применение геометрических иллюзий

Каждый день мы сталкиваемся с геометрическими иллюзиями в обычной жизни, но как правило их не замечаем. Я выделила основные направления использования этих иллюзий в быту:

1. Дизайн одежды

Благодаря иллюзиям женщины имеют уникальную возможность подкорректировать своё тело без каких-либо лишних воздействий. Достаточно правильно выбрать орнамент на платье. Например, иллюзия Геринга поможет сконцентрировать внимание на одной части, а другую сделать незаметнее.

                                                         

2. Дизайн интерьера

Часто в дизайне интерьера используется техника анаморфоз. Она создаёт объёмные и реалистичные изображения в пространстве, которые принимают чёткие очертания лишь с определённой точки. Наиболее распространены иллюзии с геометрическими фигурами. Самым известным мастером современности, творящем в этом направлении, является Феличе Варини.

  

  

3. Архитектура и украшение улиц.

• Скульптура невозможного треугольника, в центре бельгийской деревни Опховен (Ophoven), где живет в настоящее время художник и математик Матье Хэмакерзом (Mathieu Heamekers).

     А это фотография скульптуры с другой точки обзора.

                                                                            

    Вот на такие ухищрения пришлось пойти, чтобы скульптура смотрелась в анфас…

• Анаморфоз применяется не только в интерьерах, но и в украшении целых зданий.

     

• Иллюзии параллельности в архитектуре.

                                               

4. Иллюзии в рекламе и логотипах.

       

Основная задача реклам и логотипов — привлекать к себе внимание и быть запоминающимися. Иллюзии справляются с этой задачей блестяще, поэтому стали неотъемлемой частью маркетинга.

5. Иллюзии в психологии.

На приёме у психолога Вам могут показать иллюзии и спросить, что Вы видите. Это особый метод изучения внутреннего состояния человека.

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Как (и почему) я обучаю оптическим иллюзиям

Каждый год в геометрии я провожу урок, «играя» с оптическими иллюзиями. Обычно я посвящаю один полный 45-минутный урок оптическим иллюзиям (звонки, домашние вопросы и все такое). Я знаю, что обычно не так много времени для развлечений, потому что вокруг тестирования так много давления.

Почему я преподаю об оптических иллюзиях

Я думаю, что этот урок служит важной цели в классе и просто в жизни в целом. Основная цель, которую я пытаюсь донести до вас этим уроком, заключается в том, что вы не всегда можете доверять своим глазам. Я говорю о том, что в математике (и в жизни!), мы не можем просто принимать вещи за чистую монету, они должны быть доказаны. Кроме того, мы не можем просто придумать свои собственные правила, они должны быть согласованы с правилами/законами/теоремами, чтобы все могли прийти к одному и тому же выводу. Я использую оптические иллюзии как забавный способ донести эту мысль до сознания.

Я преподаю этот урок в разные периоды учебного года, в зависимости от того, чем я хочу заниматься в этом году. Я делаю этот урок в один из трех раз в год.

1. Первый день в школе (как забавное введение в геометрию)
2. Где-то на первой неделе учебы или около того (обычно прямо перед введением конгруэнтности)
3. Прямо перед тем, как мы начнем доказательства (и я подчеркиваю пункт о доказательстве с помощью правил)

Как я обучаю оптическим иллюзиям

Во-первых, я говорю своим ученикам, что у нас будет другой день, который не потребует от них делать записи. Я позволяю им сесть на пол, сесть на свои столы или устроиться поудобнее (к этому времени они СУПЕР заинтересованы). Затем я говорю им, что пока они ведут себя уважительно, поднимают руки и участвуют, домашнего задания не будет. Обычно я не заставляю детей поднимать руки, но к концу урока они, как правило, немного взволнованы и хотят окликнуть, поэтому я делаю это требованием в течение дня.

У меня есть PowerPoint со всеми видами оптических иллюзий, которые я показываю ученикам (нажмите на ссылку, чтобы скачать). Первая картинка ниже. Я показываю им его фото и прошу не комментировать. После нескольких мгновений молчания я прошу кого-нибудь прокомментировать фотографии. Мы говорим о видении ваз и лиц.

Продолжаю через powerpoint таким образом. Я всегда сначала прошу тишины, потом пару комментариев, потом пусть обсуждают между собой секунду-другую, пока все не увидят картинку.

Старушка против молодой женщины всегда фаворит.

По мере продвижения слайдов они становятся более геометрическими. На этом слайде я заставляю их доказывать мне, что линии прямые. Меня это раздражает настолько, что раздраженный студент, наконец, встанет и найдет линейку (книгу, линейку, папку и т. д.), чтобы доказать мне это.

На этом слайде я рассказываю о том, как наши глаза обманывают нас. Некоторые студенты понимают это сразу, а некоторым требуется много времени, чтобы понять это.

Когда мы вместе закончим изучение PowerPoint, я расскажу о важности доказательств, а не о предположениях. Затем я даю этот раздаточный материал (нажмите, чтобы скачать). Объяснено несколько типов оптических иллюзий, а внизу есть несколько хороших сайтов. Иногда я просто проецирую раздаточный материал, и мы обсуждаем его таким образом.

На данный момент есть несколько вещей, которые вы можете сделать для работы в классе, если у вас есть свободное время. Я никогда этого не делаю, но обычно у меня есть одно из этих занятий на всякий случай. Студенты могли…

1. используют свои устройства для поиска сведений о М. К. Эшере. Может быть, они могли бы написать несколько предложений о том, как он использовал оптические иллюзии в своей работе.
2. Найдите еще одну оптическую иллюзию и напишите, как она обманывает глаза.
3. проблемы с обзором работы.
4. работа над рабочим листом оптических иллюзий.

Визуальные диковинки и математические парадоксы

Когда ваши глаза видят картинку, они посылают изображение в ваш мозг, который ваш мозг затем должен осмыслить. Но иногда ваш мозг ошибается. В результате возникает оптическая иллюзия. Точно так же в логике утверждения или цифры могут привести к противоречивым выводам; кажутся верными, но на самом деле противоречат друг другу; или кажутся противоречивыми, даже абсурдными, но на самом деле могут быть правдой. Здесь снова ваш мозг должен разобраться в этих ситуациях. Опять же, ваш мозг может ошибаться. Такие ситуации называются парадоксами. В этой статье мы рассмотрим примеры геометрических оптических иллюзий и парадоксов и дадим объяснение тому, что происходит на самом деле.

Оптические иллюзии

Оптические иллюзии — это картинки, которые обманывают наши глаза и сбивают с толку наше восприятие. Они не являются результатом ошибочного зрения. В зависимости от освещения, угла обзора или того, как нарисовано изображение, мы можем видеть то, чего нет, и часто не видим того, что находится прямо у нас под носом. Эти уловки зрения и ума были частью человеческого опыта с самого начала истории. Древние греки использовали оптические иллюзии, чтобы усовершенствовать внешний вид своих великих храмов. В средние века неуместная перспектива иногда использовалась в картинах из практических соображений. В последнее время в графике создано и реализовано гораздо больше иллюзий.

Архитектурные оптические иллюзии

Рисунок 1: Парфенон в Афинах. Изображение: WPopp.

Иллюзии намеренно включались в архитектурные элементы с древних времен, обычно для противодействия эффектам визуального искажения. Самый известный пример — греческий Парфенон (рис. 1).

Храм основан на горизонтальных и вертикальных линиях, пересекающихся под прямым углом. Однако оказывается, что человеческий глаз искажает эти линии при взгляде на крупные конструкции. Длинные горизонтальные линии, например, кажутся провисшими посередине, в то время как две параллельные вертикальные линии кажутся расходящимися друг от друга по мере подъема. Чтобы противодействовать этому эффекту, греки заменили самую выступающую горизонтальную линию линией, изгибающейся вверх в центре. Каждая вторая горизонтальная линия должна быть параллельна этой вновь введенной кривой. Колонны Парфенона были наклонены друг к другу наверху всего на несколько градусов, чтобы казаться параллельными. (Дополнительную информацию см. в [3] в списке литературы ниже.)

Рисунок 2: горизонтальные линии изгибаются вверх, а вертикальные линии наклоняются друг к другу. (Изображение: Allgemeine Bauzeitung , III, 1838, пластина CCXXXVIII.)

Неоднозначные оптические иллюзии

Рисунок 3: ваза Rubin (разработана датским психологом Эдгаром Рубином).

На рис. 3 показан пример неоднозначной оптической иллюзии. Очень важно, чтобы ваша зрительная система могла интерпретировать узоры на сетчатке с точки зрения внешних объектов. Для этого ему нужно уметь отличать объекты от их фона, что в большинстве случаев довольно просто. Неоднозначные оптические иллюзии возникают, когда объект маскируется естественным или искусственным камуфляжем. В этих случаях и фигура, и фон будут иметь осмысленную интерпретацию, что вызовет перцептивный «кувырок». (Подробно это исследовано в [8].)

На рисунке 3 вы видите либо вазу на переднем плане, либо два лица на заднем плане. Однако в любое время вы можете видеть только лица или вазу. Если вы продолжите смотреть, фигура может перевернуться несколько раз, так что вы попеременно будете видеть лица и вазу. Гештальт-психолог Эдгар Рубин прославил эту классическую иллюзию фигуры/фона.

Невозможные фигуры

Рисунок 4: Треугольник Пенроуза.

В последнее время в графическом искусстве было создано и реализовано гораздо больше оптических иллюзий. Среди них есть так называемые «невозможные объекты», которые составляют уникальное и довольно новое направление в мире иллюзий.

Первые формальные примеры невозможных объектов были опубликованы Лайонелом и Роджером Пенроузом в 1958 году в их основополагающей статье Невозможные объекты . Они представили трибар , позже известный как Треугольник Пенроуза , и бесконечную лестницу , позже известную как Лестница Пенроуза . Именно их работа сделала невозможные объекты достоянием общественности.

Чтобы понять, что происходит на рисунке 4, треугольник Пенроуза, обратитесь к рисунку 5. Эта физическая модель треугольника Пенроуза работает только с одного особого угла. Его истинная конструкция раскрывается, когда вы перемещаетесь по нему, как показано на рисунке 5. Даже когда вам будет представлена ​​правильная конструкция треугольника, ваш мозг не отвергнет его кажущуюся невозможной конструкцию (показанную на последнем рисунке на рисунке 5). Это показывает, что существует разрыв между нашим представлением о чем-либо и нашим восприятием чего-либо. Наша концепция в порядке, но наше восприятие обмануто. (Подробнее об этих невозможных объектах можно прочитать в [6].)

Рисунок 5: физическая модель треугольника Пенроуза в Перте, Австралия. Конструкция выглядит как треугольник только с одного ракурса. Изображение: Бьорн Кристиан Торриссен.

Голландский художник Мауриц К. Эшер использовал треугольник Пенроуза в своих конструкциях невозможных миров, включая знаменитый Водопад (нажмите на ссылку, чтобы увидеть изображение). На этом рисунке Эшер, по сути, создал визуально убедительный вечный двигатель. Он вечен в том смысле, что обеспечивает бесконечный поток воды по контуру, образованному тремя соединенными треугольниками.

Рис. 6. Лестница Пенроуза.

Лестница Пенроуза (рис. 6) не настоящая лестница, а невозможная фигура. Рисунок работает, потому что ваш мозг распознает его как трехмерный, и большая его часть реалистична. На первый взгляд шаги выглядят вполне логично. Только когда вы внимательно изучаете рисунок, вы видите, что вся конструкция невозможна. Эшер включил лестницу Пенроуза в свою литографию «Восхождение и нисхождение ». (Литографию можно посмотреть, перейдя по ссылке, а подробнее об этом можно прочитать в [11].)

Лестница Пенроуза ведет вверх или вниз, не поднимаясь и не опускаясь, как бесконечная беговая дорожка. Эшер нарисовал свою лестницу в перспективе, что указывало бы на иллюзию другого размера. Монахи, которые спускаются, должны становиться меньше, а те, которые восходят, должны становиться больше. Они не делают. В этом случае Эшер был готов немного схитрить. На первый взгляд шаги кажутся вполне логичными. Только когда кто-то изучает его более внимательно, он видит, что вся структура невозможна. Возможно, это самый воспроизводимый невозможный объект всех времен.

Рисунок 7: космическая вилка, также известная как бливет .

Еще один невозможный объект — космическая вилка (рис. 7). На рисунке видно, что три зубца чудесным образом превращаются в два зубца. Проблема возникает из-за неоднозначности восприятия глубины. Ваш глаз не получает важной информации, необходимой для определения местоположения частей, и мозг не может принять решение о том, на что он смотрит. Проблема состоит в том, чтобы определить состояние среднего зубца. Если вы посмотрите на левую половину рисунка, все три зубца окажутся в одной плоскости; другими словами, кажется, что они имеют одинаковые пространственно-глубинные отношения. Однако, если вы посмотрите на правую половину рисунка, кажется, что средний зубец опускается в плоскость ниже, чем плоскость двух внешних зубцов. Так где именно находится средний зубец? Очевидно, что он не может существовать в обоих местах одновременно. Путаница является прямым результатом нашей попытки интерпретировать рисунок как трехмерный объект. Локально эта цифра хороша, но глобально представляет собой парадокс. Иногда эта фигура упоминается в литературе как космический камертон или бливет .

Парадоксы, скользящие головоломки и исчезающие картинки

Парадоксы

Парадокс часто относится к внешнему виду, требующему объяснения. Вещи кажутся парадоксальными, может быть, потому, что мы их не понимаем, может быть, по другим причинам. Как отмечает математик Леонард Вапнер (см. [12]), парадоксальные утверждения или аргументы можно отнести к одному из трех типов.

Парадокс типа 1: Утверждение, которое кажется противоречивым, даже абсурдным, но на самом деле может быть правдой.

Рисунок 8: теорема Банаха-Тарского — превращение шарика в солнце.

Теорема Банаха-Тарского содержит парадокс типа 1, так как вывод теоремы, кажется, противоречит здравому смыслу; тем не менее, вывод верный. В результате теоретически небольшой твердый шар можно разложить на конечное число частей, а затем реконструировать в огромный твердый шар, задействовав нечто, называемое 9.0068 аксиома выбора . (Аксиома выбора утверждает, что для любого набора непустых наборов можно выбрать элемент из каждого набора. ) Это может звучать как идеальное решение ваших финансовых проблем, просто превратите небольшой кусок золота в огромный один, но, к сожалению, конструкция работает только в теории. Он включает в себя создание объектов, которые, хотя мы можем описать их математически, настолько сложны, что их невозможно создать физически. Вы можете прочитать больше о теореме Банаха-Тарского в Plus артикул Мера за меру.

Парадокс типа 2: Утверждение, которое кажется верным, но на самом деле может быть противоречивым и, следовательно, ложным. Парадоксы типа 2 следуют из ошибочного аргумента.

Скользящие головоломки и исчезающие картинки являются парадоксами этого типа, как мы укажем позже в этом разделе.

Парадокс типа 3: Утверждение, которое может привести к противоречивым выводам. Это также известно как антиномия .и считается крайней формой парадокса, возможно, не имеющей общепринятого решения.

Парадокс Рассела и одна из его альтернативных версий, известная как парадокс парикмахера Севильи , является одним из таких примеров. В этом парадоксе есть деревня, в которой цирюльник (мужчина) бреет каждого мужчину, который не бреет себя, но никого другого. Затем вас просят рассмотреть вопрос о том, кто бреет парикмахера. Противоречие получается вне зависимости от ответа, так как если да, то не должен, а если нет, то должен. Вы можете узнать больше об этом парадоксе в Plus статья Математические тайны: парадокс парикмахера.

Раздвижные пазлы

Скользящие головоломки являются примерами парадоксов типа 2. Это заблуждения, которые часто трудно разрешить. Давайте рассмотрим несколько наиболее известных (или печально известных) типов скользящих головоломок.

Первый тип скользящей головоломки, которую мы рассматриваем, это . Девять купюр становятся десятью купюрами , показанная на рисунках 9 и 10. Это пошаговое сложение/вычитание , скользящая головоломка.

Рисунок 9: Девять банкнот.

Рисунок 10: Десять купюр.

На рис. 9 сплошными линиями обрезаны девять двадцатифунтовых банкнот. Первая нота разрезается на длины одной десятой и девяти десятых исходной ноты. Вторая нота разрезается на две десятых и восемь десятых исходной ноты. Третья нота разрезается на три десятых и семь десятых исходной ноты. Продолжайте в том же духе, пока девятая нота не будет разрезана на девять десятых и одну десятую длины исходной ноты.

На рис. 10 верхняя часть каждой ноты надвинута на верхнюю часть следующей ноты справа. В результате получается десять банкнот по двадцать фунтов, тогда как изначально было всего девять банкнот. Случайные зрители могут быть обмануты, думая, что дополнительная нота была создана волшебным образом, если они не измерят длину десяти новых нот. Обман объясняется тем, что каждая новая банкнота имеет длину девять десятых длины исходной двадцатифунтовой банкноты. Чем больше разрезов используется в такой пошаговой скользящей головоломке, тем сложнее обнаружить обман. Судя по всему, кто-то действительно пробовал этот трюк в довоенной Австрии. (См. [2].)

Другой тип головоломки со скольжением создает отверстие после завершения скольжения. Примером может служить парадоксальная головоломка с дыркой на рисунке 11.

Рисунок 11: Парадоксальная дыра.

Квадрат слева на рис. 11 разрезается по сплошным линиям на три части, а затем части переставляются, как указано, в результате чего в квадрате появляется дыра, а площадь, по-видимому, остается прежней!

Обман раскрыт на рисунке 12.

Рисунок 12: Объяснение парадоксальной дыры.

Когда вы переставляете части исходного квадрата, как показано на рисунке 11, становится очевидной небольшая разница. Полученный квадрат B на самом деле является прямоугольником, как показано на рисунке 12. Его вертикальные стороны немного длиннее, чем у исходного квадрата A. Разница в площади равна площади отверстия. Следовательно, ни одна часть исходного квадрата A не исчезла, а площадь отверстия перераспределилась по площади основания квадрата B.

Головоломка с исчезающим яйцом (рис. 13) представляет собой гибрид двух типов головоломок со скольжением: она включает пошаговое сложение/вычитание и дыра, появляющаяся после скольжения. После разрезания картинки и перестановки частей на одно яйцо меньше. Куда это делось? Обратите внимание, что если смотреть на ряд яиц справа налево, то на нижнем рисунке яйца явно крупнее, в результате чего одно яйцо постепенно исчезает.

Рис. 13. Загадка с исчезающим яйцом. Изображение © Г. Сарконе, www.archimedes-lab.org.

В этой статье рассматриваются лишь некоторые из множества типов оптических иллюзий и парадоксов скользящих головоломок. Если вы заинтересованы в более подробных обсуждениях и большом количестве других примеров, взгляните на список литературы ниже.

---

Дополнительная литература

Вы можете больше узнать о математике перспективы и о М.К. Работа Эшера в Plus .

[1] Оптические иллюзии Джайлса Брандрета, Майкла А. ДиСпецио, Кэтрин Джойс, Кита Кей и Чарльз А. Паракуин, Sterling Publishing Co., 2003.

[2] Латеральные логические головоломки Эрвина Брехера, Sterling Publishing Co., 1994.

[3] Архитектура Греции Дж. К. Дарлинга дает интересный исторический отчет о Древнегреческая архитектура и использование в ней оптических иллюзий.

[xthree] Волшебное зеркало М. К. Эшера , Бруно Эрнст, Taschen America, 1994 (англ. перевод), включает материалы о жизни Эшера, развитии его творчества, с главы, посвященные: исследованиям перспективы, созданию невозможных миров и Чудесные замыслы природы и математики, среди прочего.

[4] М.К. Эшер Графическое произведение, представленное и объясненное художником , М. Escher, Barnes and Nobles Inc., 1994 (английский перевод), включает ряд его произведения, сопровождаемые его собственными пояснениями и комментариями.

[5] Лучшие оптические иллюзии мира Чарльза Х. Параквина, Sterling Publishing Co., 1987, содержит ряд искусных оптических иллюзий.

[6] Невозможные объекты, особый тип визуальной иллюзии , Лайонел и Роджер Пенроуз, В выпуске British Journal of Psychology за февраль 1958 года было введено понятие невозможные фигуры. Их три экземпляра породили целую область исследования в области графики; среди его наиболее известных сторонников — Мауриц Эшер.

[7] Новые оптические иллюзии Джанни Сарконе и Мари-Жо Вэбер, Carlton Books Лимитед, 2005 г.

[8] Incredible Visual Illusions (2005) Эла Секеля — это виртуальный рог изобилия информации. и примеры, с подробными пояснениями и что происходит, и разнообразные типы оптических иллюзий.

[9] The Art of Optical Illusions (2000) Эла Секеля обсуждает большое количество индивидуальные оптические иллюзии. Каждая глава включает раздел с примечаниями с интерпретации и объяснения, а в ряде случаев историческое происхождение иллюзии.

[10] Джозеф Хоффер и исследование древней архитектуры Дж. Сиса в Журнале Общество историков архитектуры, выпуск за декабрь 1990 г., включает подробные архитектурные чертежи Парфенона.

[11] Невозможные объекты, Удивительные оптические иллюзии, чтобы сбить с толку и поразить Дж. Тимоти Унру, Sterling Publishing Co., 2001, дает короткие, но превосходные пояснения. ряда невозможных объектов, включая три примера Пенроузов как а также материал о гибридных невозможных объектах и ​​о том, как сделать Невозможный объект.

[12] В книге Леонарда Вапнера «Горох и солнце: математический парадокс» есть интересный обсуждение парадоксов. Он разделяет парадоксальные утверждения на три типа: обсуждаются в этой статье. Эта книга была рассмотрена в Плюс .

---

Об авторах

Линда Бесерра

Линда Бесерра — профессор математики Хьюстонского университета в центре города. Она и ее соавтор (Рон Барнс) написали статью об основах математики, Эволюция математической достоверности , которая была удостоена математической Премия Тревора Эванса Ассоциации Америки за лучшую статью в журнале MAA Math Horizons в 2005 году.

Рон Барнс

Профессор Рон Барнс — статистик в области компьютерных и математических наук. отделение Хьюстонского университета в центре города.