Как нарисовать звезду (и не только) в полярных координатах / Хабр
Вопрос о формуле для многоугольника в полярных координатах регулярно возникает на тематических ресурсах — и так же регулярно остаётся без внятного ответа. В лучшем случае попадается решение через функцию остатка от деления — что не является «чистым» с математической точки зрения, поскольку не позволяет производить над функцией аналитические преобразования. Видимо, настоящие математики слишком заняты решением проблем тысячелетия и поисками простого доказательства теоремы Ферма, чтобы обращать внимание на подобные банальные задачи. К счастью, в этом вопросе воображение важнее знания, и для решения этой задачи не нужно быть профессором топологических наук — достаточно знания школьного уровня.
Формула для равностороннего многоугольника в полярных координатах выглядит очень просто
и имеет следующие параметры:
— угол;
— количество выпуклых вершин;
Для него допустимы и отрицательные значения — от знака будет зависеть, в какую сторону будет выгибаться звезда;— жёсткость — при мы получим окружность вне зависимости от прочих параметров, при — многоугольник с прямыми линиями, при промежуточных значениях от до — промежуточные фигуры между окружностью и многоугольником.
С этой формулой можно нарисовать звезду двумя путями:
1)
2) . В этом случае требуется сделать два оборота вместо одного:
Параметр влияет на многоугольник следующим образом (здесь он изменяется от -1 до 5):
Параметр в анимации:
Комплексная форма и модификации
На первый взгляд это может показаться бессмысленным, поскольку формула стала чуть более громоздкой — но не стоит спешить с выводами.
Во-первых, в ней отсутствует арксинус, что полностью меняет математический смысл формулы и позволяет по-другому посмотреть на построение звёздчатого многоугольника. Во-вторых, из неё также можно получить компактные формулы для частных случаев, например . В-третьих (и самое интересное), её можно творчески модифицировать и получать другие, неожиданные формы. Для того, чтобы появление возможной мнимой компоненты в радиусе не вызывало неоднозначности при вычислении, можно её сразу привести к декартовым координатам умножением на . Вот примеры некоторых модификаций:
Как вы наверняка заметили, вращение вектора перестало быть равномерным — и именно из-за появления мнимой составляющей в радиусе.
Квадрокруги и прочее
У нашей формулы есть замечательный частный случай — квадрат, формулу для которого можно выписать как
или
(выбирайте, какая больше нравится).
В чуть более развёрнутом случае можно определить промежуточные фигуры между кругом и квадратом через точку на плоскости
Можно также добавить вариативности этим фигурам с сохранением условия прохождения их через точку — модулируя непосредственно сам параметр в зависимости от угла таким образом, чтобы при прохождении через диагонали его множитель был равен единице. Например, подставив вместо функцию , мы получим дополнительный параметр , которым можно регулировать дополнительные изгибы. В частности, для получится следующее:
В ещё более развёрнутом случае можно определить не просто квадрат — а прямоугольник, и по прежнему в полярных координатах:
И даже посчитать его площадь (через эллиптические интегралы):
Примечание
Для крайних значений ( и ) эта функция имеет особые точки, которые можно посчитать через предел и они ожидаемо будут равны и .
Это позволит делать профили с переходом из окружности в прямоугольник с контролируемой площадью сечения. Здесь площадь константна:
А здесь площадь расширяется по экспоненциальному закону:
Переход к декартовым координатам
Любую формулу в полярных координатах можно выразить через уравнение в декартовых координатах, причём как минимум двумя способами — в зависимости от чего будет изменяться вид градиента на границе фигуры. Для этого достаточно посчитать угол через арктангенс от координат и привести формулу к константе через радиус-вектор вычитанием
или делением
Второй вариант предпочтительнее, поскольку даёт прямые градиенты вдоль сторон многоугольника.
Примечание
Здесь также нужно помнить, что в точке (0,0) возникает неопределенность из-за деления на ноль — которая, впрочем, легко разрешается через предел (который будет равным в первом случае и нулю во втором).
Выражение также можно упростить до , коэффициенты числителя которого при разложении образуют знакочередующий вариант последовательности A034839.
или, если с насыщением
Можно использовать классический фильтр нижних частот , в котором — порядок фильтра, определяющий степень затухания.
Для первого варианта:
И для второго:
Помимо растеризации как таковой, можно задавать и деформации — например, сжать шахматную доску в круг:
Или даже натянуть её на сферу:
Формула
Классический стиль повествования в математических текстах состоит из чередования лемм/теорем и их доказательств — как если бы доказуемые утверждения появлялись у авторов в голове откровением свыше.
И хотя в этом и бывает доля истины, чаще появлению формул предшествует некоторая исследовательская работа, описание которой может дать большее понимание их смысла, чем формальное доказательство; а верность утверждений, в свою очередь, можно проследить через верность шагов, к ним приведших.
Так и здесь — если бы статья началась с формулы в комплексной форме, то её появление было бы неочевидным и контр-интуитивным, а заявленные свойства требовали бы дополнительных доказательств. Но в тригонометрической форме записи историю её появления вполне возможно проследить.
1) начинаем с самого простого случая — задаче начертить прямую в полярных координатах. Для этого нужно решить уравнение , решение которого очевидно .
2) далее аргумент секанса нужно «зациклить», чтобы обеспечить изломы в прямой. Именно на этом этапе другие решения используют «грязный хак» в виде остатка от деления. Здесь же используется последовательное взятие прямой и обратной функции синуса —
Такой подход позволяет производить стандартные математические операции над получившейся формулой,
например
можно её продифференцировать и получить функцию для прямоугольной волны:
Благодаря этой же записи можно упростить функцию квадрата в полярных координатах до более эстетического вида, используя представление тригонометрический функций в комплексном виде.
// TrigToExp // Simplify
// # /. {x -> Cos[\[Phi]], y -> Sin[\[Phi]]} &
// TrigToExp // Simplify // FullSimplify
↓
Заключение
Как видите, даже в такой простой и банальной вещи как многоугольник, можно найти и придумать что-то новое. И на этом история не заканчивается — осталась неизвестной формула площади для общего случая, осталась неизвестной формула для произвольного, а не только правильного многоугольника, остались без рассмотрения разложения в степенные и тригонометрические ряды. Также, вероятно, подобного рода формула существует и для 3-мерного случая.
Поэтому если вам говорят, что в математике уже всё придумано и остались лишь задачи недоступные пониманию обычного человека — не верьте. Есть много сугубо практических задач, о существовании которых настоящие математики не подозревают, или их решение им не интересно из-за отсутствия достаточного хайпа вокруг них, или потому что у них уже есть примерное представление путей достижения для их решения.
Не бойтесь браться за задачи, решение которых отсутствует в википедии, не бойтесь публиковать их решения и не бойтесь читать комментарии под статьями о бесполезности всего сущего.
P.S. скачать оригинальный документ для Mathematica можно здесь.
графика Круг Евросоюз Звезда, белый узор, симметрия, форма, европейский союз png
графика Круг Евросоюз Звезда, белый узор, симметрия, форма, европейский союз pngтеги
- симметрия,
- форма,
- европейский союз,
- белый узор,
- звезда,
- небо,
- круг,
- полукруг,
- линия,
- геометрия,
- рисунок,
- крыло,
- png,
- прозрачный,
- бесплатная загрузка
Об этом PNG
- Размер изображения
- 630x630px
- Размер файла
- 15.47KB
- MIME тип
- Image/png
изменить размер PNG
ширина(px)
высота(px)
Лицензия
Некоммерческое использование, DMCA Contact Us
org/ImageGallery» align=»middle»>
org/ImageObject»> Звездный круг, черная звезда, фотография, симметрия, форма png
600x596px
19.32KB
org/ImageObject»> круговая голубая иллюстрация, графический дизайн круг картины, технология геометрическая, синий, электроника, текст png
515x515px
121.76KB
13KB
3KB
74MB
org/ImageObject»> Угловая точка Черно-белый узор, Белые сияющие звезды, сияющая звезда, текстура, белый, звезды png
2000x1834px
685.3KB
org/ImageObject»> шаблон желтых звезд, Испания государство-член Европейского союза BOKI Industries Inc. Brexit, Eu Stars, симметрия, европейский союз, звезда png
1502x940px
12.87KB
org/ImageObject»> Треугольная форма фона, черный и белый абстракция, текстура, компьютерная сеть, угол png
2480x3508px
524.6KB
89KB
2KBPython — нарисуйте звезду с помощью Turtle Graphics
Улучшить статью
Сохранить статью
- Уровень сложности: Средний
- Последнее обновление: 16 окт, 2020
Улучшить статью
Сохранить статью
В этой статье мы узнаем, как сделать звезду с помощью Turtle Graphics в Python. Для этого давайте сначала узнаем, что такое Turtle Graphics.
Графика черепахи
Черепаха — это функция Python, похожая на доску для рисования, которая позволяет нам приказать черепахе рисовать на ней! Мы можем использовать множество функций черепахи, которые могут перемещать черепаху. Черепаха заходит в черепашью библиотеку. Модуль черепахи можно использовать как объектно-ориентированным, так и процедурно-ориентированным образом.
Некоторые часто используемые методы:
- вперед(длина): перемещает перо вперед на x единиц.
- назад(длина): перемещает перо назад на x единиц.
- вправо(угол): повернуть перо по часовой стрелке на угол x.
- влево(угол): повернуть перо против часовой стрелки на угол x.
- penup(): остановить рисование загона черепахи.
- pendown(): начать рисовать загон для черепахи.
Подход
- Первый импорт модуля черепахи в режиме ожидания или редакторе, который вы используете.
импортная черепаха
- Получите экранную доску, на которой черепашка будет рисовать.
ws=turtle.Screen()
Появится такой экран:
- Определите экземпляр для черепахи.
- Для рисования Звезда выполняет цикл 5 раз.
- В каждой итерации переместите черепаху на 100 единиц вперед и вправо на 144 градуса.
- Это составит угол 36 градусов внутри звезды .
- 5 итераций идеально составят Звезду.
Ниже приведена реализация описанного выше подхода на Python.
Первый способ:
Python3
|
forward(
Output:
Turtle Making A Star
Alternate Подход:
Python3
0 |
pensize (
setpos( Выход:-
https://media.geksforgeekeeks.org/wpp-contentspload/20313131313131313131313131313131313131313131313131313131. -оригинал.mp4
Статьи по теме
28 Звездный клипарт - Изображения со звездами бесплатно
Сегодня я предлагаю забавную и полезную коллекцию бесплатных изображений со звездами! Все это винтажные картинки, отсканированные из старинных книг для принтеров в моей коллекции. Они немного отличаются от других изображений Clipart, которые вы можете найти в Интернете, так как они старые, поэтому печать слегка потрепана, что придает им великолепный винтажный или ретро-стиль.
Эти звездные клипарты идеально подходят для использования в веб-дизайне, ремеслах, школьных отчетах, в качестве учительских картинок для использования в классах или воскресных школах, для презентаций Power Points, а также они могут стать отличными кистями Photoshop для всех видов проектов графического дизайна. Надеюсь, вы сможете найти применение этим изображениям звезд в своих проектах. Я предлагаю каждую звездную графику в нескольких разных цветах, таких как черный и белый, красный, золотой и темно-синий. И есть также ряд различных дизайнов, включая границы и даже несколько рамок. Эти дополнительные опции хорошо подходят для праздничных дизайнов, таких как Рождество или 4 июля, а также для других патриотических праздников. Просто нажмите на изображения, чтобы увеличить их, а затем нажмите кнопку с правой стороны мыши, чтобы сохранить изображения на свой компьютер.
Клипарт со звездами
- Изображение черной двойной звезды
- Синяя двойная звезда
- Изображение красной двойной звезды
- Золотая двойная звезда
Это последнее дополнение к этой коллекции.
Вот такие интересные двойные звезды! Каждая версия имеет основу очень детализированной версии звезды архитектурного стиля, как вы видите ниже, но затем у нее есть вторая, которая лежит поверх нее, чтобы создать необычный и интересный дизайн. Разве это не было бы здорово для проектов 4 июля ?!
- Черно-белое изображение звезды
- Морская звезда картинки
- Красная звезда Клипарт
- Золотая 5-конечная звезда
Это замечательный набор архитектурных изображений звезд, которые благодаря своему дизайну выглядят почти трехмерными. Тот, что справа, представляет собой черно-белое изображение с 5-конечной звездой. Я думаю, что это довольно поразительно, и в нем есть морской стиль. Морская звезда отлично подойдет для дизайна или поделок в патриотическом или морском стиле. Это повторяется снова ярко-красным цветом. Эта версия 5-конечной звезды была бы хороша для рождественских проектов или проектов.
И, наконец, у нас есть золотая версия. Учителя, есть ли у вас ученик, который заслуживает Золотой звезды за свои усилия в классе? Этот может просто соответствовать всем требованиям!
Изображения контуров звезд
- Черно-белая звезда
- Красный контур звезды
- Контурное изображение морской звезды
- Золотой Клипарт Звезда Контур
Это хороший базовый план Star Outline для ваших отчетов и проектов. Первый выполнен в черно-белом цвете. Вы можете раскрасить его, если хотите, либо в цифровом виде с помощью такой программы, как Photoshop или Picmonkey, либо вручную с помощью маркеров, цветных карандашей или мелков, либо просто использовать его так, как он есть. Второй — красивая красная версия контура звездного клипарта. Это может быть полезно для школьных отчетов или ресурсов для учителей, или, может быть, вы также можете использовать его для рождественских дизайнов.
Третий — темно-сине-белая версия того же изображения Star Clipart. И, наконец, есть красивая яркая золотая версия.
Изображения звезд
- Черно-белая звезда Клипарт
- Красная звезда картинки
- Изображение морской звезды
- Изображение золотой звезды
Это набор забавных перевернутых изображений звезд. Для первого сама Звезда белая, а область вокруг нее черная. У него отличная ретро-привлекательность с его проблемным фоном! Далее у нас есть красивая ярко-красная и белая версия. Существует также версия в темно-синем цвете и версия того же Star Image в золотом и белом цветах.
Рамки со звездами
Я также создал для вас несколько границ со звездами. Из них получаются отличные кисти Photoshop, так как вы можете штамповать их снова и снова для самых разных целей. Они отлично подойдут для украшения края проекта, бумаги или отчета, а также для веб-дизайна.
Я также создал это в нескольких разных цветах.
Вот ярко-красная версия. Отлично подходит для праздничных проектов или патриотических проектов или для использования в любом месте, где вы просто хотите немного ярких красок!
Я также создал темно-синюю версию этого изображения Звездной рамки, для другого варианта.
И здесь у нас есть граница контура звезды, которую вы также можете использовать, и вы можете раскрасить ее по своему усмотрению, если хотите.
Графические рамки со звездами
Это интересная маленькая графическая рамка со звездами, отсканированная из одной из моих старых книг для принтеров. На этом изображена черная рамка с белыми шестиконечными звездами внутри границы. Также в каждом из углов есть четыре одинаковых звездочки-клипарта. Я думаю, из него получится симпатичная этикетка или, возможно, вы могли бы использовать его в качестве подарочной бирки и т. д.
Здесь у нас есть простая черно-белая графическая рамка со звездами, состоящая из 5-конечных изображений звезд.
Его также можно использовать в качестве этикетки или подарочной бирки или использовать его для выделения текста на веб-сайте или в блоге.
Вот красивая красная версия рамки-клипарта со звездами, которую вы можете использовать для своих праздничных дизайнов. Думаю, из него получится милая рождественская этикетка или подарочная бирка.
А вот версия Navy для использования в качестве еще одного варианта.
Рождественские картинки Звезды
- Золотая рождественская звезда
- Равнина Рождественской Звезды
- Рождественская звезда с Иисусом
- Золотая звезда с Иисусом
Я обновляю этот пост несколькими рождественскими звездами! Выше показана простая звезда с исходящими от нее лучами во все стороны. Есть простая версия, а также версия с Младенцем Иисусом в центре. В дополнение к черно-белой версии я также создал несколько золотых версий.
Они были отсканированы с 19Книга 37 Принтеры. На книге нет знака авторского права, похоже, что она не вся защищена авторским правом.
Надеюсь, вам понравилась эта коллекция картинок. В настоящее время здесь около 28 звездных рисунков, с которыми можно поиграть, и я обязательно добавлю больше, когда найду другие в будущем. Надеюсь, вы сможете найти способы использовать их в своих проектах, презентациях, печатных формах или отчетах. Если вы используете Adobe Photoshop или аналогичную программу для редактирования изображений, вы можете изменить их цвет или изменить их так, как вам нравится, чтобы они соответствовали вашему дизайну. Дайте мне знать, если вы хотели бы видеть больше таких коллекций в будущем, мне всегда любопытно, что вы, ребята, находите полезным, поэтому не стесняйтесь оставлять комментарии ниже и дайте мне знать.
Вам также могут понравиться наши изображения Человек на Луне ЗДЕСЬ.
Вы уже зарегистрировались на нашем сайте премиум-членства? За одну низкую месячную цену (или сэкономьте еще больше с нашей годовой опцией!) вы получите МГНОВЕННЫЙ ДОСТУП почти к 200 великолепным тематическим наборам винтажных изображений и более 10 000+ изображений ! Каждый набор (например, тот, что выше) содержит множество потрясающих винтажных изображений, печатных форм, еженедельное руководство по Photoshop Elements и многое другое! У нас также есть несколько типов форматов файлов.
